Итерационная формула.

Итерация градиентного метода с дроблением шага для задачи (10), (11) имеет вид

 

(12)

 

 

(13)

 

а величина шага находится из условия

 

(14)

 

Найдем явные выражения для частных производных функции (11):

 

(15)

 

Таким образом, из (12), (13), (15) имеем искомую итерационную формулу градиентного метода с дроблением шага для задачи (10), (11).

=- , =- ,

 

(16)

 

3.Первая итерация ( =0).

Из формул (15), (16) последовательно имеем

Таким образом, (см. рис. 3).

Условие (14) на первой итерации имеет вид

Поскольку

левая часть этого неравенства равна . Его правая часть, легко видеть, равна .

Таким образом, на первой итерации условие (14) выполняется и величина шага должна быть изменена:

4.Вторая итерация ( =1).

Аналогично первой итерации последовательно имеем

Таким образом, (см. рис. 3).

Условие (14) на второй итерации имеет вид

Поскольку

левая часть этого неравенства равна . Его правая часть, легко видеть, равна .

Таким образом, на второй итерации условие (14) выполняется и величина шага должна быть изменена: .

5.Третья итерация ( =2).

Аналогично первой итерации последовательно имеем

Таким образом, (см. рис. 3).

Условие (14) на третьей итерации имеет вид

( )- ( ) 0.5 .

Поскольку

левая часть этого неравенства равна . Его правая часть, легко видеть, равна .

Таким образом, на третьей итерации условие (14) выполняется и величина шага должна быть изменена: .

 

Градиентный метод с дроблением шага. Тест 1

 

Выполните несколько итераций (не менее двух) решения двумерной задачи локальной безусловной оптимизации

 

(1)

 

 

(2)

 

градиентным методом с дроблением шага, исходя из точки .

Примите , , в качестве нормы вектора градиента используйте евклидову норму.

Траекторию поиска изобразите на рисунке, на котором приведены линии уровня квадратичной функции (2), которые могут быть получены с помощью следующей MATLAB-программы:

x=-2:0.06:2;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x);

Z=(X).^2+(Y).^2+3*(X+Y).^2;

V=[0.1,0.2,0.4,0.8,1.5,3.,6.,12,24];

[C,h]=contour(X,Y,Z,V);

clabel(C,h);

Ответ