Решение.
а) Приращение функции ∆у = f(x + ∆x) – f(x) = f(2 + ∆x) – f(2) = ((2 + ∆x)2 + (2 + ∆x) + 1) – (22 + 2 + 1) = 5∆x + ∆x2. Выделяя линейную относительно ∆x часть приращения функции, получаем, что dy = 5∆x = 5dx.
б) Дифференциал функции dy = (x2 + x + 1)′dx = (2x + 1)dx = (2∙2 + 1)dx = 5dx.
9.2. Найти 1,0050,5; 1,035.
Решение.Получим вначале приближенную формулу для вычисления любой n-й степени. Полагая f(x) = xn, найдем f′(x) = nxn-1 и в соответствии с (9.6):
(x + ∆x)n ≈ xn + nxn-1∆x. В данном примере для x = 1:
1,0050,5 ≈ 1 + 0,5∙0,005 = 1,0025; 1,035 ≈ 1 + 5∙0,03 = 1,15.
9.3. Использую понятие дифференциала, вычислить приближенно arcsin 0,51.
Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x. Полагая x = 0,5, ∆x = 0,01 и применяя формулу (9.6), имеем:
arcsin(x + ∆x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ∆x = arcsin x + .
Следовательно,
arcsin 0,51 ≈ arcsin 0,5 +
9.4. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 1%?
Решение. Объем шара радиуса x равен f(x) = (4/3)πx3. Найдем f′(x) = 4πx2, и по формуле (9.7) .
9.5. Найти количество лет, в течение которых первоначальная сумма вклада увеличится в два раза, если ставка банковского процента (за год) равна r.
Решение.Найдем количество лет T , в течение которых первоначальная сумма вклада увеличится в два раза. Так как за год вклад увеличивается в (1 + r/100) раз, то за T лет вклад увеличится в (1 + r/100)T раз. Таким образом, необходимо решить уравнение (1 + x/100)T = 2. Логарифмируя, получаем T ln(1 + r/100) = ln2, откуда T = .
Для приближенного вычисления значения ln(1 + r/100) используем понятие дифференциала. Получим вначале приближенную формулу для вычислении ln x. Полагая
f(x )= ln x, найдем f′(x) = 1/x и в соответствии с (9.6) ln(x + ∆x) ≈ . В данном примере для x = 1, ∆x = r/100 получим ln(1 + r/100) = ln1 + r/100 = r/100. Таким образом T ≈ 100 ln(2/r). Так как ln2 ≈ 0,7, получаем, что время удвоения вклада T ≈ 70/r (лет).
9.6. Найти dy и d2y, если y = .
Решение: ; .
Найти приращения функций и их дифференциалы и вычислить их значения при заданных x и ∆x:
9.7. 9.8.
9.9.
Найти дифференциалы первого порядка функций и вычислить их значения при заданных x и ∆x:
9.10. 9.11.
9.12.
Найти дифференциалы первого порядка функций:
9.13. 9.14. 9.15.
9.16. 9.17. 9.18.
9.19. 9.20. 9.21.
9.22. 9.23. 9.24.
9.25. 9.26. 9.27.
9.28. 9.29. 9.30.
9.31. 9.32.
Найти дифференциалы второго порядка функций:
9.33. 9.34. 9.35.
9.36. 9.37. 9.38.
9.39. 9.40.
Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить:
9.41. е0,2. 9.42. ln 1,02. 9.43. 170,25.
9.44. arcsin 0,54. 9.45. 1.021/3. 9.46. cos 151o.
9.47. sin 29o. 9.48. arctg 1,05. 9.49. lg 11.
9.50. Показать, что относительная погрешность в 1% при определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
9.51. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.