Решение.

1. Находим частные производные:

; .

2. Находим критические точки функции из системы

Получаем , т.е. – единственная критическая точка.

3. Находим частные производные второго порядка:

;

Имеем .

В точке (–2; 0) имеем , . Таким образом, (– 2; 0) – точка минимума.

4. Находим минимум функции .

15.57. Найти экстремумы функции .

Решение. ; .Легко проверить, что равенство выполняется в трех случаях: при х = 1, при у = 0ипри . В первых двух случаях уравнение не имеет решений, так что единственное решение системы

есть , т.е.критическая точка (е; 1) – единственная. Имеем

; ; .

В точке ; ; .

, так что функция экстремумов не имеет. Такая точка (е; 1) есть седловая точка.

15.58. Найти экстремумы функции .

Решение. ; .Очевидно, (0; 0) – единственная критическая точка: ; ; . Очевидно, в точке (0; 0) , т.е. , , и вопрос об экстремуме остается открытым, так что требуется дополнительное исследование.

Очевидно, в любой окрестности точки (0; 0) функция может принимать и положительные, и отрицательные значения (например, в точке (1; 1) z = 1 > 0, а в точке
(– 1; 1) z = – 1 < 0); в самой же точке (0; 0) функция равна нулю. Таким образом, ни в какой своей окрестности точка (0; 0) не является ни точкой максимального, ни точкой минимального значения, т.е. функция экстремумов не имеет.

15.59. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на круге .

Решение. Критическая точка , – единственная и расположена внутри круга . На границе круга и ,где . Таким образом, на границе имеем , . Следовательно, наименьшее значение принимается внутри круга, наибольшее – на его границе.

15.60. Найти экстремумы функции при условии , что .