Краткая теория

1. Частными производными функции по и по называются пределы вида:

; . (15.1)

2. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения независимых переменных

(15.2)

или , (15.3)

учитывая, что . (15.4)

3. Производной по направлению функции называется предел

. (15.5)

Производная по направлению может быть выражена через частные производные по формуле , (15.6)

где единичный вектор задает направление (с углами и , образуемыми с осями координат).

4. Градиентом функции называется вектор . (15.7)

Градиент функции в точке , отличный от нуля, перпендикулярен линии уровня, проходящего через эту точку.

15.27. Найти частные производные функции .

Решение. При дифференцировании по считаем постоянной величину .Таким образом, . При дифференцировании по считаем постоянной величину , следовательно, .

15.28. Найти частные производные второго порядка функции двух переменных .

Решение. Частные производные 1 – го порядка имеют вид:

.

Считая их новыми функциями двух переменных, найдем их частные производные. Получаем:

.

15.29. Найти длину вектора градиента функции в точке (0;0).

Решение. Компонентами вектора (15.7) являются частные производные функции, т.е. . В точке (0;0) получаем . Соответственно длина вектора равна .

15.30. Найти производную функции в точке (2;0) по направлению, параллельному биссектрисе первого координатного угла.

Решение.Прямая, проходящая через точку (2,0) параллельно биссектрисе первого координатного угла, задается уравнением (см. (4.7)). Ее углы с осями координат (как и у биссектрисы) равны . Следовательно. По формуле (15.6):

.

Найти частные производные функций:

15.31. .	15.32.	15.33.
15.34.	15.35.	15.36.
15.37.	15.38.	15.39.

Найти полные дифференциалы функций:

15.41. . 15.42. 15.43.

15.44. . 15.45. 15.46.

Найти производные функций по заданным направлениям l:

15.47. ; l составляет с осью Ох угол .

15.48. ; l – биссектриса 1-го координатного угла.

15.49. Вычислить производную функции в точке М(2;1)

по направлению l – прямой МN, где N (5,5).

15.50. Вычислить производную функции в точке М(1;1) по направлению l – перпендикуляра к прямой y = 2х – 1.

 

Найти градиент функции z = f(x,y) и его модуль для функций в указанных точках М:

15.51. ; М(1;2). 15.52. ; М(0;3).

15.53. ; М(0;-1). 15. 54. ; М(-1;2).

15.55. ;М .

15.3. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум