Осесимметричное обтекание острого конуса
Глава 9
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
Коническим называют поток, в котором параметры газа на конической поверхности сохраняются постоянными. Они изменяются только при переходе с одной конической поверхности на другую.
Осесимметричным называют течение, обладающее симметрией относительно оси тела. В этом случае течение газа во всех меридиональных плоскостях одинаково, и движение газа можно изучать как плоское в одной из меридиональных плоскостей.
Осесимметричное обтекание острого конуса
Рассмотрим осесимметричное ( 
) обтекание конуса с углом полураствора 
сверхзвуковым потоком.
Результаты решения задачи осесимметричного обтекания острого конуса используются в следующих случаях:
а) для определения коэффициента волнового сопротивления конических головных частей корпусов ЛА;
б) в качестве исходных данных для численного расчета обтекания конусов при 
;
в) в качестве начальной точки при расчете обтекания тел с криволинейной образующей;
г) для приближенного расчета распределения давления по поверхности тел более сложной формы.
При симметричном обтекании конуса с углом полураствора ( 
при заданном числе Маха 
) перед ним возникает присоединенный конический скачок уплотнения с вершиной в вершине конуса (рис. 9.1). Задача расчета обтекания конуса сводится к нахождению угла полураствора конического скачка 
и поля скоростей (и давлений) между скачком уплотнения и конусом. Поскольку поток около конуса осессимметричный, то будем рассматривать одну меридиональную плоскость. Довольно просто убедиться, что для всех плоскостей, перпендикулярных продольной оси конуса, граничные условия (при 
и 
) одинаковы, и течения между конусом и скачком уплотнения геометрически подобны. То есть в сходственных точках этих сечений параметры потока ( 
, 
) одинаковы. Геометрическим местом сходственных точек являются конические поверхности, расположенные между поверхностью конуса и скачком уплотнения. Течения подобного рода называются коническими.
Задача решается в полярной системе координат 
с полюсом в вершине конуса. Зафиксируем некоторую промежуточную коническую поверхность с углом полураствора 
. Вследствие конического характера течения составляющие скорости потока на этой поверхности не зависят от координаты 
:
.
Кроме того, ввиду прямолинейности образующей скачка уплотнения при переходе через фронт скачка по любой линии тока энтропия возрастает одинаково (потери механической энергии одинаковы), и течение между конусом и скачком является изоэнтропическим и потенциальным (безвихревым). Следовательно, составляющие вектора скорости можно записать через потенциал скорости 
: 
. Для осесимметричного конического потока потенциал скорости можно представить в виде 
. Тогда составляющие скорости равны
и 
. (9.1)
Исключив 
из выражений (9.1), получим первое уравнение для определения составляющих скорости в виде
. (9.2)
Вторым уравнением, связывающим искомые величины 
, является уравнение неразрывности 
, которое для осесимметричного установившегося течения можно записать в сферических координатах:
или
. (9.3)
Исключим из выражения (9.3) 
. Поскольку течение между конусом и скачком изоэнтропическое, воспользуемся формулами изоэнтропического течения (4.9) 
и 
. Продифференцировав выражение для плотности и учитывая, что 
, произведем замены с учетом выражения (9.2): 
. После подстановки этого выражения в уравнения (9.3) получаем следующее: 
. Из этого равенства получаем второе уравнение для расчета 
и 
. В итоге получаем систему двух уравнений:
(9.4)
Эта система дифференциальных уравнений определяет все поле скоростей между скачком уплотнения и конусом. Для решения системы необходимо задать граничные условия. В данной задаче имеем следующие граничные условия:
1) на поверхности конуса, где 
нормальная составляющая вектора скорости равна 
(из условия непротекания), тогда из второго уравнения системы 
, т. е. составляющая скорости направлена по касательной к поверхности конуса и равна скорости на поверхности конуса: 
;
2) на поверхности скачка уплотнения, где 
составляющие скорости и должны удовлетворять основным соотношениям для косого скачка уплотнения (см. гл. 6):
а) касательная составляющая скорости при переходе через скачок уплотнения не изменяется: 
;
б) нормальная составляющая (она же 
) должна удовлетворять формуле Прандтля для косого скачка уплотнения:
. (9.5)
Знак «минус» в левой части явился следствием того, что положительным считается направление в сторону увеличения угла , поэтому составляющая скорости , направленная к поверхности конуса, отрицательная.
Систему дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях можно решить методом численного интегрирования. Интегрирование можно начать как с поверхности конуса, задаваясь значением 
и , так и с поверхности скачка, задаваясь углом и числом Маха (скоростью 
). В первом случае в результате решения системы находим 
и поле скоростей в области между конусом и скачком уплотнения; во втором случае – угол и поле скоростей, в том числе и величину скорости на поверхности конуса .
Для численного интегрирования систему дифференциальных уравнений приведем к безразмерному виду и представим в виде уравнений в конечных разностях, в которых 
; 
; 
– приращение угла ; 
– угол промежуточного конуса ( 
). Величина при начале расчетов с поверхности скачка уплотнения определяется как 
(при 
), при расчете с поверхности конуса – как 
(при 
).
Тогда
(9.6)
Рассмотрим кратко порядок ведения расчета при интегрировании с поверхности конуса. Зададимся углом полураствора конуса и скоростью 
на его поверхности. Зададимся приращением , т. е. шагом интегрирования. На нулевом шаге ( ) имеем следующее: 
и 
.
Делаем первый шаг по углу : 
. Из первого уравнения системы (9.6) получаем 
, так как 
и 
. Подставим полученное значение 
во второе уравнение системы и найдем 
на промежуточном конусе с углом 
и т. д. Интегрирование проводим до тех пор, пока не будет выполняться условие (9.5) на поверхности скачка, также приведенное к безразмерному виду.
|
Рассчитаем число , соответствующее заданной скорости на поверхности конуса, затем параметры 
за скачком уплотнения и параметры поля течения между скачком и конусом, используя формулы изоэнтропического течения.
Найдем коэффициент волнового сопротивления изолированного конуса, отнесенный к площади наибольшего сечения (площади донного среза конуса). Сила лобового сопротивления, действующая на конус (рис. 9.2), равна
,
так как 
. Поскольку повышенное давление на поверхности конуса создается за счет потерь части механической энергии сверхзвукового потока в скачке уплотнения, то возникающее за счет этого сопротивление называют волновым. Тогда коэффициент сопротивления, он же коэффициент волнового сопротивления, равен
. (9.7)
Таким образом, можно сделать заключение, что коэффициент волнового сопротивления изолированного конуса численно равен коэффициенту давления на его поверхности 
.
Коэффициент давления на поверхности конуса рассчитывается по общему выражению для коэффициента давления: 
.
Расчеты показывают, что скорость потока на поверхности конуса меньше, чем за скачком уплотнения, а угол поворота потока при переходе через конический скачок уплотнения меньше угла конуса < . Угол наклона вектора скорости при перемещении от скачка к конусу увеличивается до . Поэтому линии тока в возмущенной области (в отличие от клина) являются криволинейными (рис. 9.3).
Скорость потока вдоль этих линий уменьшается, а давление возрастает. Следовательно, при обтекании конуса поток испытывает сначала ударное сжатие на скачке уплотнения, а затем изоэнтропическое повышение давления (сжатие) в области между скачком и поверхностью конуса. Вследствие этого волновые потери (волновое сопротивление) конуса при прочих равных условиях ( 
) меньше, чем для клина. Угол наклона конического скачка уплотнения 
при одинаковой величине и 
меньше угла наклона плоского косого скачка уплотнения, а максимальный угол поворота 
, до которого скачок остается присоединенным, при этом больше, чем для плоского скачка уплотнения (рис. 9.4).
 |
Рис. 9.3. Форма скачка уплотнения и линий тока. Изменение давления
и скорости вдоль линии тока
|
