Источники и классификация погрешностей
ТЕМА №1
Основные понятия вычислительной математики, источники и классификация погрешностей, абсолютная и относительна погрешности, формы записи данных, вычислительная погрешность, погрешности решения задачи на ЭВМ.
Основные понятия вычислительной математики
Вычислительная математика – это раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. В более узком понимании вычислительная математика – теория численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач.
К задачам вычислительной математики относят:
· решение линейных уравнений;
· решение систем линейных уравнений;
· нахождение собственных значений и векторов матрицы;
· решение нелинейных алгебраических уравнений;
· решение систем нелинейных алгебраических уравнений;
· решение дифференциальных уравнений;
· решение систем дифференциальных уравнений;
· решение интегральных уравнений;
· задачи аппроксимации, интерполяции, экстраполяции.
В вычислительной математике можно выделить следующие разделы:
· анализ математических моделей, связанный с применением ПЭВМ в различных областях научной и практической деятельности;
· разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей;
· теория и практика программирования задач для ПЭВМ.
Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. Расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, психологии, медицины и других разделов науки. Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов.
Следует отметить, что при проведении математического эксперимента особое внимание уделяется возможности появления ошибок.
Источники и классификация погрешностей
Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются следующие факторы.
· Неточность математического описания (например, неточность задания начальных данных).
· Неточность численного метода решения задачи. Данная причина возникает, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т.е. использование приближенного решения.
· Конечная точность машинной арифметики.
Все погрешности можно разделить на три вида:
· неустранимая погрешность;
· погрешность метода;
· вычислительная погрешность.
Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей.
Неустранимая погрешность состоит из двух частей:
· погрешность, обусловленная неточностью задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;
· погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели).
Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других болеепростых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной).
Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.