IX. Обыкновенные диференциальные уравнения. Задача Коши.

1. Основные определения.Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производные от искомой функции y(x):

(9.1)

где x-независимая переменная, (n)-порядок производной. Наивысший порядок n, входящий в это уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

(9.2)

где с₁,...,с_n - произвольные постоянные. Их количество определяется порядком дифференциального уравнения. Если значения c₁,...,c_n - известны и соответственно равны , то получаем частное решение: . Значения определяются из условий, которые называются дополнительными условиями для данного дифференциального уравнения.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для данного дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Дополнительные условия задаются значениями функции и ее производных при некоторых значениях переменной x, т.е. в некоторых точках отрезка, где требуется найти решение.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка x=x₀, в которой они задаются - начальной точкой.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:

(9.3)

с начальным условием .

Решением дифференциального называется функция y(x), которая при подстановке его в уравнение, превращает последнее в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общее решение уравнения имеет вид: y=j(x,c₁). Данному решению соответствует бесконечное семейство интегральных кривых с параметром c₁. С помощью начальных условий y(x₀)=y₀ из этого семейства выделяется одна конкретная интегральная кривая, которая является частным решением.

Пусть выбраа произвольная интегральная кривая и на ней точка с координатами (x_i,y_i). В этой точке имеем: , где a_i угол наклона касательной к интегральной кривой в заданной точке x_i (Рис.9).

Величина называется угловым коэффициентом. Угловой коэффициент в узле x_i равен тангенсу угла наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (x_i,y_i)_.

3. Методы Эйлера решения задачи Коши.На отрезке [a,b] вводится равномерная сетка: x_i, i=0,1,...,n; с шагом h=x_i₊₁-x_i, при этом x₀=a и x_n=b. Сетка рассматривается как переменная величина x_h, которая изменяется дискретным образом с шагом h между узлами. Набор значений функции y_i=y(x_i), i=0,1,...,n; в узлах x_i называется сеточной функцией и обозначается как y_h. Решение задачи Коши состоит в нахождении значений сеточной функции удовлетворяющей дифференциальному уравнению и заданным начальным условиям.

а) простой метод Эйлера первого порядка точности по шагу h.Для аппроксимации первой производной используем правую разность . В итоге получим формулу метода Эйлера для решения дифференциального уравнения:

, (9.4)

В узле x_i вычисляется угловой коэффициент k_i, с помощью которого вычисляется значение сеточной функции y_i₊₁ в узле x_i₊₁.

Так как значение y₀ задано граничным условием: y₀=y(x₀), то приведенное соотношее позволяет определить значение сеточной функции y_i во всех последующих узлах начиная с первого;

б) метод Эйлера-Коши второго порядка точности по шагу h. Расчетная формула данного метода имеет вид:

(9.5)

На первом этапе, в соответствии с методом Эйлера первого порядка точности, с помощью углового коэффициента ) вычисляется грубое приближение искомой функции в узле x_i₊₁=x_i+h. Затем ,в этом узле с помощью значений вычисляется угловой коэффициент . Далее определяется усредненный угловой коэффициент , который служит для вычисления значения y_i₊₁=y_i+h×k_i;

в) усовершенствованный метод Эйлера второго порядка точности по шагу h. Расчетная формула данного метода имеет вид:

(9.6)

С помощью углового коэффициента: в узле вычисляется приближенное значение . Далее вычисляется угловой коэффициент в этом узле. С помощью этого коэффициента вычисляется значение .

4. Метод Рунге - Кутты четвертого порядка точности. Наиболее известным из методов Рунге-Кутты является классический 4-этапный метод четвертого порядка точности, расчетные формулы которого имеют вид:

(9.7)

В начале один за другим вычисляются угловые коэффициенты . Далее определяется угловойт , с помощью которого находится значение сеточной функции в узле .