V. Системы линейных алгебраических уравнений.

1. Основные определения. Система уравнений вида:

(5.1)

или в сокращенной записи:

(5.2)

называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными x_i (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:

(5.3)

где A - квадратная матрица, и - векторы столбцы вида:

(5.4)

Определителем ( детерминантом ) матрицы А порядка n называется число D_n (detA) равное:

(5.6)

где - определитель матрицы порядка (n-1), образованной из матрицы A вычеркиванием первой строки и i-ого столбца, при этом определитель матрицы первого порядка, которая состоит всего из одного элемента, например a_ij, равен самому этому элементу D₁=a_ij.

Для существования единственности решения системы линейных уравнений необходимо и достаточно выполнения условия det A¹0.

2. Прямые методы решения.Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы - прямые (точные) и итерационные (приближенные). Наиболее распространенными являются следующие прямые методы:

а) правила Крамера. Решение системы записывается в виде:

(5.7)

где

(5.8)

б) метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы линейных уравнений к треугольному виду (прямой ход ):

(5.9)

а затем решение этой системы начиная с x_n, далее x_n_-1 и т.д. до x₁ (обратный ход).

Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса.

Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делает главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора.

Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом.

Прямойход.На k шаге выбирается главный элемент в k столбце. Пусть это будет элемент в j -ой строке , k£j£n. Верхний индекс в скобках указывает, что коэффициенты уравнения получены после (k-1) шага исключения.

Перестановкой j и и k строк делает этот элемент диагональным.

(5.10)

Далее производим исключение x_k из уравнений с номерами k+1,...,n с помощью соотношения:

(5.11)

После n-1 шагов приходим к системе уравнений с треугольной матрицей.

Обратный ход.

Из последнего уравнения находим . Далее определяем , а затем и т.д. до x₁ c помощью соотношения:

(5.12)

3. Обратная матрица.По определению матрица A^-1 является обратной матрице A если выполняется соотношение: А^-1·А=Е, где Е - единичная матрица:

(5.13)

Так как E×A=A×E, то A×A^-1×A=A×E=E×A. Отсюда A×A^-1=E. Матрица E состоит из элементов e_ij=d_ij, где d_ij - символ Кронекера:

(5.14)

Используя правило умножения матриц, имеем:

(5.15)

где a_kj и - элементы прямой и обратной матриц. Из этого уравнения следует, что для нахождения элементов j - го столбца обратной матрицы , k=1,2,...,n; необходимо решить линейную систему:

(5.16)

Для нахождения обратной матрицы (обращения матрицы) нет необходимости n раз решать данную систему с разными правыми частями. Правая часть этой системы записывается не в виде одного столбца , а в виде набора из n столбцов , j=1,2,...n; которые образуют единичную матрицу Е (b_ij=e_ij=d_ij). Методом Жордана-Гаусса матрица A сводится к диагональному виду, при этом единичная матрица в правой части будет преобразована в обратную матрицу A^-1.