III. Численное дифференцирование.

1. Аппроксимация производных конечными разностями. Производной функции y=f(x) называется предел:

(3.1)

Для приближенного вычисления производной используется формула:

(3.2)

где Dx-некоторое конечное число. Данное соотношение называют аппроксимацией производной с помощью конечных разностей, т.к. величина Dx конечна и не равна нулю.

Пусть известны значения функции y0,y1,...,yi,...,yn, вычисленные или заданные таблицей, в точках x0,x1,...,xi,...,xn (Рис.2). Точки x0,x1,...,xi,...,xn называются узлами, а разность между соседними значениями аргумента называется шагом hi=Dxi=xi-xi-1, i=1,...,n. Весь набор узлов называется сеткой. Если величина шага между узлами постоянна, то говорят, что узлы x0,x1,...,xi,...,xn образуют равномерную сетку с шагом h.

 
 

Для вычисления производной y¢i в точке точки xi по формуле можно использовать различные разности, например, левую разность,

(3.3)

правую разность:

(3.4)

центральную разность:

(3.5)

и т.п.

2. Погрешность численного дифференцирования. При численном дифференцировании с использованием приближенной формулы, использующей конечно-разностное соотношение, естественно возникает погрешность: R(x,h)=y¢(x)-y¢h(x,h), где y¢(x)-точное значение производной, а y¢h(x,h)- значение производной вычисленное по приближенной формуле при шаге h.

Величина погрешности зависит от точки x, в которой вычисляется производная, и от шага h. При этом, чем меньше шаг, тем меньше погрешность. Обычно погрешность R(x,h) записывают одним из способов:

(3.6)

где, j(x)×hk- называется главной частью погрешности аппроксимации, т.к. это слагаемое при h<<1 будет гораздо больше второго, а величина k называется порядком погрешности или порядком точности аппроксимации относительно шага h.

3. Аппроксимирующие формулы первого, второго и четвертого порядка точности. Аппроксимацию производных конечными разностями в общем случае можно рассматривать как замену производной от функции y¢=f¢(x) производной от аппроксимирующей функции j¢(x), j(x)»f(x), где в качестве аппроксимирующей функции используется интерполяционный многочлен:

. (3.7)

Так как точность аппроксимации определяется степенью интерполяционного многочлена, то увеличивая степень многочлена n мы будем увеличивать и порядок точности аппроксимации производной.

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа при равномерном распределении узлов были получены следующие формулы первого порядка точности для аппроксимации производной с помощью левой и правой разности:

(3.8)

а также второго и четвертого порядка точности с помощью центральных разностей:

(3.9)

где, y(k)(x) - значение “к”-той производной в некоторой точке на отрезке, которому принадлежат используемые в формуле узлы.

В крайних точках таблицы или в крайних узлах нельзя использовать соотношения для центральных разностей, которые имеют порядок точности два и выше. Поэтому в этих точках используются следующие односторонние формулы численного дифференцирования второго порядка точности:

(3.10)

4. Улучшение аппроксимации с помощью метода Рунге -Ромберга.Пусть y¢(x) - точное значение производной, а y¢h(x) -значение производной, вычисляемое по формуле численного дифференцирования, имеющей порядок точности к относительно шага h. Следовательно, можем записать:

(3.11)

Запишем это же соотношение для шага h1=ph:

Вычитая из второго соотношения первое получаем формулу для главной части погрешности, имеющей точность на порядок выше, чем порядок точности используемой формулы численного дифференцирования:

. (3.12)

Подставляя эту формулу в исходную формулу, получаем:

(3.13)

Данное соотношение позволяет по результатам двух расчетов производной с шагом h и шагом ph с использованием одной и той же формулы численного дифференцирования, имеющей порядок точности k, найти уточненное значение производной с порядком точности k+1. Данный прием называется методом Рунге-Ромберга.

Варианты задания №5.

 

Для функции, значения которой приведены в таблице, вычислить в указанных узлах производную со вторым порядком точности по шагу h между узлами hi=xi.-xi-1. В одном из указанных узлов, где это возможно, провести уточнение значения производной с помощью метода Рунге-Ромберга.

 

1. i=1,2,3;

i xi yi
1,0 1,302
1,2 1,390
1,4 1,551
1,6 1,750
1,8 2,105

2. i=0,4;

i xi yi
0,2 0,402
0,6 1,490
1,0 2,681
1,4 4,000
1,8 5,340

3. i=1,2,3;

i xi yi
0,1 0,430
0,2 0,390
0,3 0,281
0,4 0,175
0,5 0,085

4. i=0,4;

i xi yi
1,2 0,502
1,6 0,904
2,0 1,871
2,4 1,478
2,8 0,443

5. i=1,2,3;

I xi yi
0,0 10,50
1,0 12,72
2,0 12,55
3,0 11,07
4,0 10,05

6. i=0,4;

i xi yi
0,02 0,002
0,04 0,640
0,06 0,647
0,08 0,597
0,10 0,130

7. i=1,2,3;

i xi yi
1,0 4,397
1,5 1,740
2,0 -1,551
2,5 -2,450
3,0 -2,075

 

8. i=0,4;

i xi yi
0,1 0,542
0,2 0,990
0,3 0,942
0,4 0,440
0,5 -0,530

9.i=1,2,3;

i xi yi
0,00 0,722
0,25 0,905
0,50 0,551
0,75 0,048
1,00 -0,805

10. i=0,4;

i xi yi
0,0 -0,039
0,1 -1,370
0,2 -0,759
0,3 0,446
0,4 5,450

11. i=1,2,3;

i xi yi
1,2 41,02
1,4 52,90
1,6 31,51
1,8 11,750
2,0 -0,105

12. i=0,4;

i xi yi
1,0 4,035
1,5 3,068
2,0 2,081
2,5 4,564
3,0 4,560

 

13. i=1,2,3;

i xi yi
0,0 0,022
0,3 0,906
0,6 0,555
0,9 0,350
1,2 -0,205

14 i=0,4;

i xi yi
0,2 0,0290
0,4 0,0875
0,6 0,0653
0,8 -0,2222
1,0 5,340

15.i=1,2,3;

i xi yi
0,01 0,0202
0,02 0,0320
0,03 0,055
0,04 0,075
0,05 0,155

16.i=0,4;

i xi yi
0,01 0,0072
0,02 0,0470
0,03 0,0958
0,04 0,0539
0,05 0,0480

17. i=1,2,3;

i xi yi
0,4 5,802
0,8 6,360
1,2 7,541
1,6 8,760
2,0 8,135

 

18. i=0,4;

i xi yi
10,0 5,889
11,0 3,335
12,0 3,773
13,0 6,587
14,0 8,863

19. i=1,2,3;

i xi yi
1,0 17,02
2,0 13,90
3,0 12,34
4,0 13,50
5,0 21,18

20. i=0,4;

i xi yi
0,00 0,993
0,25 0,774
0,50 0,439
0,75 0,485
1,00 0,695

21. i=1,2,3;

i xi yi
2,0 -8,302
2,2 1,450
2,4 -6,720
2,6 3,921
2,8 3,706

22. i=0,4;

i xi yi
0,3 3,734
0,6 4,120
0,9 5,123
1,2 -3,850
1,5 -6,220

 

23. i=1,2,3;

i xi yi
0,5 -0,430
1,5 0,390
2,5 0,564
3,5 0,755
4,5 0,893

24. i=0,4;

i xi yi
1,2 -5,902
1,6 -8,320
2,0 -10,450
2,4 -14,540
2,8 -16,519

25. i=1,2,3;

I xi yi
0,8 0,650
1,6 1,790
2,4 2,745
3,2 3,333
4,0 5,309

26. i=0,4;

i xi yi
0,02 0,598
0,04 0,760
0,06
0,08 0,977
0,10 1,345

27. i=1,2,3;

i xi yi
-1,0 7,540
-1,5 7,321
-2,0 6,644
-2,5 4,130
-3,0 -3,022

 

28. i=0,4;

i xi yi
-0,1 3,380
-0,2 4,550
-0,3 5,640
-0,4 6,440
-0,5 7,220

29.i=1,2,3;

i xi yi
-0,722
-0,880
-0,340
0,048
0,455

30. i=0,4;

i xi yi
0,0 4,427
0,1 5,870
0,2 6,760
0,3 8,330
0,4 9,990

31. i=1,2,3;

i xi yi
-1,2 4,020
-1,4 -5,900
-1,6 3,510
-1,8 -1,750
-2,0 -2,105

32. i=0,4;

i xi yi
-1,0 1,122
-1,5 3,330
-2,0 4,280
-2,5 5,650
-3,0 6,750

 

33. i=1,2,3;

i xi yi
-0,554
-0,665
-0,734
-0,980
-1,140

34 i=0,4;

i xi yi
-0,2 -290
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0

35.i=1,2,3;

i xi yi
-0,01 -2,360
-0,02 3,707
-0,03 5,540
-0,04 6,430
-0,05 8,908

36. i=0,4;

i xi yi
0,06 -0,56
0,12 -0,450
0,18 -0,330
0,24 -0,220
0,30 -0,140

37. i=1,2,3;

i xi yi
-0,4 8,02
-0,8 3,60
-1,2 5,41
-1,6 7,60
-2,0 8,80

38.i=0,4;

i xi yi
16,0 -8,120
31,0 -2,870
46,0 -3,540
61,0 -4,890
76,0 -6,555

39.i=1,2,3;

i xi yi
-1,0 7,50
-2,0 23,66
-3,0 52,88
-4,0 73,51
-5,0 91,57

40.i=0,4;

i xi yi
0,00
-0,25
-0,50
-0,75
-1,00