II. Аппроксимация функций

1. Интерполирование-это аппроксимация (приближение) функции с помощью алгебраического многочлена j(x) степени n, значения которого в заданных узлах (i=0,1,...,n) равны значениям функции в этих же узлах, т.е. j(x_i)=y_i=f(x_i), при этом полагается, что среди значений нет одинаковых, т.е. x_i¹x_k при i¹k (Рис.1).

Многочлен j(x) называется интерполяционными имеет вид:

(2.1)

Коэффициенты интерполяционного многочлена a_k (k=0,1,...n) определяются из системы линейных уравнений:

(2.2)

Погрешность интерполяции R(x) определяется по формуле:

(2.3)

2. Многочлены Лагранжа. При больших значениях n необходимо решать систему (2.2) из (n+1) уравнений, т.е. проводить большой объем вычислений. Как избежать этого? Это можно, например, сделать с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа.

Рассмотрим многочлены степени n следующего вида, которые называются многочленами Лагранжа (выражения в угловых скобках учитывать не надо, они записаны для того, чтобы понять по какому принципу строятся эти многочлены):

(2.4)

здесь многочлен имеет степень n+1 и он равен нулю во всех узлах x_k, k=0,1,2,…,n.

Можно видеть, что

(2.5)

т.е. многочлен Лагранжа l_k(x_i) равен нулю во всех узлах кроме k-го узла, а в самом k-ом узле он равен единице.

Используя это свойство, сразу можем сразу записать интерполяционный многочлен:

(2.6)

Представление интерполяционного многочлена j(x) в таком виде называется обобщенным многочленом Лагранжа L_n(x) или просто интерполяционным многочленом Лагранжа.

На основании определения погрешности аппроксимации функции f(x) с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа L_n(x) можем записать:

(2.7)

при этом погрешность R(x) называется остаточным членоминтерполяционного многочлена. Остаточный член, записанный в форме Лагранжа, имеет вид:

(2.8)

3. Среднеквадратичное приближение.Коэффициенты интерполяционного многочлена j(x) определяются из системы линейных уравнений (2.2). При большом количестве узлов интерполяции (при больших значениях n) необходимо решать систему линейных уравнений большого порядка, что может привести к большим ошибкам. Применение обобщенного интерполяционного многочлена Лагранжа также ведет к большой относительной погрешности из-за накопления ошибок. Поэтому при больших значениях n используют иные приближения, например, среднеквадратичное приближение.

Среднеквадратичным приближением функций называется приближение, когда степень аппроксимирующего многочлена n меньше m (n<m), где m+1 равно количеству узлов (i=0,1,...,m). Случай m=n соответствует интерполяции.

Мерой отклонения многочлена от заданной функции y=f(x) при среднеквадратичном приближении является величина среднеквадратичного отклонения равная

. (2.9)

При построении аппроксимирующего многочлена j(x) нужно подобрать коэффициенты так, чтобы величина была минимальной.

4. Метод наименьших квадратов.Так как , то достигает минимума при тех же значениях a_k, k=0,1,..,n. Введя обозначение y_i=f(x_i) рассмотрим функцию :

(2.10)

Необходимым условием минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по переменным а_l, т.е.

(2.11)

Отсюда получаем:

(2.12)

или:

(2.13)

Данная линейная система уравнений называется нормальной системой. Из решения этой системы уравнений определяются неизвестные коэффициенты a_k, при которых минимизируются среднеквадратичное отклонение между заданной функцией f(x) и аппроксимирующей функцией.

 

 

Варианты задания №3.

Используя интерполяционный многочлен Лагранжа вычислить в указанных точках значения функции y=f(x), заданной в виде таблицы, и оценить погрешность для заданного значения третьей производной:

1. x=0,8 и x=2,1;

i	xi	yi
	0,5	5,1
	1,5	3,7
	2,5	4,3

2. x=0,7; x=1,1;

i	xi	yi
	0,4	0,1
	0,8	0,7
	1,2	0,3

3. x=1,8; x=3,1;

i	xi	yi
	1,5	2,2
	2,5	-0,7
	3,5	-4,3

4. x=0,18; x=0,21;

i	xi	yi
	0,1	0,1
	0,2	0,7
	0,3	0,3

5. x=0,1; x=0,2;

i	xi	yi
	0,05	-2,0
	0,15	-2,5
	0,25	-1,3

6. x=8; x=21;

i	xi	yi
		0,1
		0,7
		0,3

7. x=0,25; x=0,9;

i	xi	yi
	0,1	3,1
	0,5	-0,7
	1,0	-3,3

8. x=0,28; x=0,31;

i	xi	yi
	0,1	-0,5
	0,2	-0,3
	0,3	-0,2

9. x=0,8; x=2,1;

i	xi	yi
	0,0	15,0
	1,5	17,0
	3,0	9,5

10. x=1,8; x=1,75;

i	xi	yi
	1,0	-0,1
	1,5	1,7
	2,0	8,7

 

 

11. x=0,8; x=2,1;

i	xi	yi
	0,5	0,1
	1,5	-0,7
	2,5	-0,3

12. x=0,7; x=1,1;

i	xi	yi
	0,4	0,15
	0,8	0,4
	1,2	0,3

13. x=1,8; x=3,1;

i	xi	yi
	1,5	1,2
	2,5	-0,7
	3,5	-0,3

14. x=2,5; x=1,5;

i	xi	yi
	1,1	4,4
	2,2	-1,7
	3,3	-3,4

15. x=0,1; x=0,2;

i	xi	yi
	0,05	-1,0
	0,15	-2,1
	0,25	-1,4

16. x=8; x=21;

i	xi	yi
		0,15
		0,47
		0,43

 

 

17. x=0,25; x=0,9;

i	xi	yi
	0,1	2,1
	0,5	-0,5
	1,0	-2,3

18. x=0,28; x=0,31;

i	xi	yi
	0,1	-0,3
	0,2	0,3
	0,3	-0,1

19. x=0,8; x=2,1;

i	xi	yi
	0,0	10,0
	1,5	7,0
	3,0	5,5

20. x=1,8; x=1,75;

i	xi	yi
	1,0	-0,1
	1,5	1,7
	2,0	8,7

21. x=0,4 и x=3,5;

i	xi	yi
	0,5	-0,5
	1,5	0,7
	2,5	0,3

22. x=0,4; x=0,6;

i	xi	yi
	0,0	0,1
	0,8	0,3
	1,6	0,3

 

 

23. x=0,4; x=2,3;

i	xi	yi
	3,5	0,2
	6,5	0,5
	9,5	-0,9

24. x=0,8; x=1,4;

i	xi	yi
	0,1	-0,5
	0,7	0,7
	1,3	0,3

25. x=0,5; x=1,2;

i	xi	yi
	0,05	-22,0
	0,25	3,5
	0,45	-8,3

26. x=6; x=13;

i	xi	yi
		-0,7
		0,4
		-0,9

27. x=0,12; x=1,5;

i	xi	yi
	0,1	-7,5
	1,5	-0,67
	2,0	7,3

28. x=0,8; x=0,98;

i	xi	yi
	0,1	0,5
	0,5	-3,3
	0,9	-0,7

 

 

29. x=0,38; x=2,1;

i	xi	yi
	0,0	1,0
	0,5	-1,7
	1,0	-0,5

30. x=1,3; x=2,1;

i	xi	yi
	1,0	-0,5
	3,5	-2,2
	6,0	-0,6

31. x=0,4; x=2,3;

i	xi	yi
	0,0	-0,1
	1,5	0,7
	3,0	0,4

32. x=0,3; x=0,5;

i	xi	yi
	0,6	-1,5
	1,8	-0,3
	3,0	0,8

33. x=1,5; x=2,7;

i	xi	yi
	0,5	-1,2
	2,5	-0,4
	4,5	0,1

34. x=2,1; x=1,1;

i	xi	yi
	0,3	0,9
	1,2	-1,3
	2,1	1,4

 

 

35. x=0,3; x=1,2;

i	xi	yi
	10,5	6,0
	15,5	-0,4
	20,5	-3,6

36. x=8; x=21;

i	xi	yi
		0,15
		0,47
		0,43

37. x=0,2; x=1,9;

i	xi	yi
	0,1	-2,1
	0,8	-6,5
	1,5	-0,3

38. x=0,4; x=2,5;

i	xi	yi
	0,15	40,0
	2,25	-34,3
	3,35	-20,7

39. x=0,6; x=3,3;

i	xi	yi
	0,0	-1,4
	3,5	-3,5
	7,0	-2,5

40. x=0,41; x=0,75;

i	xi	yi
	1,3	0,8
	2,5	-3,7
	3,7	-0,5