Аналитические признаки поведения функции.

Теорема: Критерий постоянства фун.

Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).

Док-во:f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем "xÎ[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); cÎ(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x => f(x)=const.

Теорема: Достаточный признак возрастания функции.Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].

Док-во:

возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)

применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]

по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].

Док-во 1:подобно предыдущему.

Док-во 2:g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0

=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).

f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b).