Решение систем линейных уравнений

 

Метод квадратных корней

 

Объем вычислений, требующихся для решения линейных алгебраических задач с симметричными матрицами, можно сократить почти вдвое, если учитывать симметрию при треугольном разложении.

Пусть A= – симметричная матрица, т.е. . Построим ее разложение в виде A=UU, где

, .

 

Перемножим матрицы, получим n(n+1)/2 уравнений относительно такого же количества переменных (элементов матрицы U):

 

		…
		…
		…	……………………

Из первой строки уравнений находим

, (j=2, …,n).

Из второй строки:

, (j=3, …,n).

И наконец:

.

Общий вид формул для вычисления ненулевых элементов матриц U и U:

, i=1, …, n;

(6.1)

, j=2, …,n.

Получив UU-разложение симметричной матрицы A, решение уравнения

UUx=b

сводится к решению системы

. (6.2)

Таким образом, решение исходной системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов.

 

1. Uy = b:

 

Следовательно, y при i=1, 2, …, n могут быть найдены по формулам:

. (6.3)

 

2. Ux = y:

,

откуда и вычисляются значения неизвестных x в обратном порядке i=n, n–1, …, 1 по формулам:

. (6.4)

Решение СЛАУ посредством UU-разложения матрицы A по формулам (6.3)–(6.5) называется методом квадратных корней или схемой Холецкого.