Зв’язок між центральними і початковими моментами різних порядків.

 

Із всіх моментів в якості характеристики випадкової величини найчастіше використовують перший момент (мат. сподівання) і другий центральный момент , який називають дисперсією випадкової величини.

Дисперсія випадкової величини – характеризує розсіювання випадкової величини відносно математичного сподівання, позначається

.

За означенням: .

Для дискретної випадкової величини:

Для безперервної випадкової величини:

Дисперсія має размірність квадрата випадкової величини. Для наочної характеристики розсіювання зручніше застосовувати величину з розмірністю випадкової величини. Тому з дисперсії добувають корінь, який називають середньоквадратичним відхиленням (СКВ) випадкової величини і позначають

 

Отже:

Властивості дисперсії:

1);

2) ;

3) X,Y - незалежні випадкові величини;

4) .

 

Інші моменти вищих порядків дають можливість визначити додаткові характеристики розподілу, зокрема характеризують форму кривої розподілу. Це такі як асиметрія і ексцес. Вводяться коефіцієнти асиметріїі ексцесу (гостро- чи плосковершинності) розподілу, які визначаються відповідно:

; .

 

Задачі для засвоєння матеріалу.

Приклад 1.

Функція розподілу безперервної випадкової величини задана виразом:

 

Знайти – коефіцієнт а;

- густину розподілу;

- ймовірність попадання випадкової величини на задану ділянку P(0,5<x<3)=?

- Побудувати графік функції інтегральної та диференційної.

Розв’язок:

F(4)=1 : a*4=1, a=0,25

 

 

Є два варіанти розв’язку, використовуючи відомі залежності

 

Контрольні питаня:

1.Що таке випадкова і систематичне похибки вимірювань.

2.Назвіть джерела виникнення випадкових похибок.

3.Які похибки вважаються грубими або промахами?

4.Чи можливо усунути випадкові похибки, обгрунтуйте чому?

5.Що таке подія та ймовірність події?

6. Які методи застосовуються для опису випадкових похибок?

7. Що таке багатокутник розподілу?

8. Закон розподілу, зміст поняття.

9. інтегральна функція розподілу, означення, властивості, графік.

10. Диференційна функція розподілу, означення, властивості, графік.

11. Який зв’язок між інтегральною та диференційною функціями розподілу?

12. Моменти результатів вимірювання, початкові та центральні.

13. Що таке центрована величина?

14. Математичне сподівання, означення, властивості.

15. Характеристики положення результатів вимірювання.

16. Що таке мода, як визначається?

17. Що таке медіана, як визначається?

18. Характеристики розсіювання результатів вимірювання.

19. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення результатів вимірювання.

20. Властивості дисперсії.

21. Який існує зв’язок між початковими та центральними моментами різних порядків?

Для визначення яких величин застосовуються моменти вищих порядків?

Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка”       ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ПОХИБОК Методичні вказівки та інструкція до практичних занять з курсу “Метрологія, стандартизація, сертифікація та акредитація” для студентів базового напрямку “Автоматизація і комп’ютерно-інтегровані технології”       Затверджено на засіданні кафедри автоматизації теплових i хімічних процесів Протокол N 1 від 29.08.04 р.   Львів – 2004 Числові характеристики випадкових похибок. Методичні вказівки та

	інструкція до практичних занять з курсу “Метрологія стандартизація, сертифікація та акредитація” для студентів базового напрямку 6.0925 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології” / Укладачі: Химко О.М. - Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2004. – с. 10   Укладач: Химко О.М., к.т.н.   Відповідальний за випуск: Пістун Є.П., д.т.н., проф.   Рецензент: Брилинський Р.Б., к.т.н., доц., Фединець В.О., к.т.н., доц.     Тема роботи: Числові характеристики випадкових похибок. Мета роботи: практичне засвоєння суті понять випадкова похибка,		17. Що таке медіана, як визначається? 18. Характеристики розсіювання результатів вимірювання. 19. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення результатів вимірювання. 20. Властивості дисперсії. 21. Який існує зв’язок між початковими та центральними моментами різних порядків? Для визначення яких величин застосовуються моменти вищих порядків?

	Знайти – коефіцієнт а; - густину розподілу; - ймовірність попадання випадкової величини на задану ділянку P(0,5<x<3)=? - Побудувати графік функції інтегральної та диференційної. Розв’язок: F(4)=1 : a*4=1, a=0,25   Є два варіанти розв’язку, використовуючи відомі залежності Контрольні питаня: 1.Що таке випадкова і систематичне похибки вимірювань. 2.Назвіть джерела виникнення випадкових похибок. 3.Які похибки вважаються грубими або промахами? 4.Чи можливо усунути випадкові похибки, обгрунтуйте чому? 5.Що таке подія та ймовірність події? 6. Які методи застосовуються для опису випадкових похибок? 7. Що таке багатокутник розподілу? 8. Закон розподілу, зміст поняття. 9. інтегральна функція розподілу, означення, властивості, графік. 10. Диференційна функція розподілу, означення, властивості, графік. 11. Який зв’язок між інтегральною та диференційною функціями розподілу? 12. Моменти результатів вимірювання, початкові та центральні. 13. Що таке центрована величина? 14. Математичне сподівання, означення, властивості. 15. Характеристики положення результатів вимірювання. 16. Що таке мода, як визначається?		ймовірність випадкової похибки, закон розподілу, багатокутник розподілу, інтегральна функція розподілу, диференційна функція розподілу, моменти розподілу різних порядків. Необхідно знати: основи теорії випадкових величин, теорії ймовірностей, елементи математичної статистики. Основні питання , які розглядаються на практичному занятті: 1. Поняття випадкової складової похибки вимірювань. 2. Багатокутник розподілу. 3. Інтегральна функція розподілу. 4. Диференційна функція розподілу, крива розподілу. 5. Моменти розподілу. 6. Середньоквадратичне відхилення. 7. Дисперсія. 8. Мода, медіана, математичне сподівання. У залежності від причин виникнення похибок загальна похибка вимірювань складається із двох складових: випадкова похибка вимірювань і систематична похибка вимірювання. Випадкова похибка –це похибка,яка врезультаті досліду може прийняти те чи інше значення не відоме заздалегідь і змінюється при повторних вимірюваннях однієї й тієї самої величини випадково. Вона виникає під впливом чинників, що проявляються нерегулярно і зникають несподівано, наприклад перекоси елементів приладів за напрямними, зміни моментів в опорах, зміна зовнішніх умов та умов навколишнього середовища тощо. Не завжди можна визначити причину виникнення випадкової похибки та передбачити її інтенсивність. Деякі із причин можуть проявлятися надпосильно і приводити до того, що похибка буде виходити за допустимі межі. Такі похибки у складі випадкових називають грубими або промахами. Випадкові похибки не можна виключити повністю, але їх вплив може бути зменшений шляхом обробки результатів вимірювань. Для цього треба знати їх імовірнісні і статистичні характеристики. Найуніверсальнішим способом опису випадкової похибки як випадкової величини є знаходження закону розподілу. Закон розподілу випадкових величин Випадкову похибку розглядають як випадкову подію з певною ймовірністю. Розглянемо випадкову дискретну величину Х с можливими значеннями x1, x2, …, xn. Великі букви - випадкові величини. Малі букви - їхні можливі рішення. Випадкова величина може приймати в кожному досліді тільки одне можливе значення: Позначимо імовірність відповідних подій через Pi

	, розглянуті події утворять повну групу несумісних подій, тому . Розподілом випадкової величини називається характеристика, яка показує не тільки, які можливі значення приймає випадкова величина, але і їх ймовірності. Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і відповідними імовірностям Найпростішою формою запису законів розподілу є таблиця виду, яка називається рядом розпод P p1, p2, ...pn Графічне представлення цієї таблиці називається багатокутником розподілу Р   Багатокутник і ряд розподілу цілком характеризує випадкову величину і є однією з форм законів розподілу. Інтегральна функція розподілу – це функціяF(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х : F(x)=P(X<x). Геометричний зміст інтегральної функції розподілу – це ймовірність того, що випадво величина прийме значення лівіше від х. F(x) - універсальна характеристика випадкової величини, вона існує для усіх випадкових величин як дискретних так і безперервних.