Пример выполнения лабораторной работы
Задание
Горно-обогатительному комбинату дополнительно выделено 8 комплектов (X=8) горного оборудования, которое надо распределить между тремя рудниками таким образом, чтобы общий прирост добычи был максимален. По горнотехническим условиям на руднике №1 можно дополнительно установить не более 3 комплектов оборудования, а на №2 и №3 - не более 4 (на каждом отдельно). Прирост добычи по рудникам gi (в условных единицах) в зависимости от количества дополнительно выделяемого оборудования рассчитан методом вариантов и задан в таблице 7.1.
Таблица 7.1
| Количество дополнительно выделяемого оборудования | Прирост добычи по рудникам | ||
| №1 | №2 | №3 | |
| g1(x) | g2(x) | g3(x) | |
| 1,2 | 1,1 | 1,2 | |
| 2,1 | 2,1 | 2,2 | |
| 3,0 | 3,1 | 3,2 | |
| - | 3,9 | 4,0 |
Математическая модель рассматриваемой задачи имеет вид.
.
(7.10)
Первый этап решения задачи методом динамического программирования, заключается в определении эффективности использования ресурсов на одном объекте. Рассмотрим выделение ресурсов руднику №3. Эффективность использования ресурсов при различных состояниях системы выражается при этом данными таблицы 7.1 столбец 4.
На втором этапе рассмотрим распределение ресурсов между двумя (№3 и № 2) рудниками. Сначала определим состояния системы, характеризуемые количеством ресурсов, выделяемым на два рудника (Х=х3+x2). Максимальное количество ресурсов, которое можно выделить на последние два рудника, составит 
, а минимальное 
. Таким образом, на эти два рудника можно выделить 5, 6, 7 или 8 комплектов оборудования. Далее для каждого из состояний системы определяем возможные варианты распределения оборудования по рудникам. Например, при X=х2+х3=5 возможны следующие варианты: 1)х2=1,х3=4; 2)x2=2, x3=3; 3)x2=3,x3=2; 4) x2=4,x3=1.
Все состояния системы и возможные варианты распределения оборудования заносим в таблицу 7.2. В этой таблице определяется также составляющие слагаемые основного функционального уравнения, т.е. значения эффективности использования дополнительно выделяемого оборудования на каждом руднике и суммарная эффективность по обоим рудникам.
Для каждого из возможных состояний системы находим условно-оптимальное управление. Для этого в столбце 6 выбираем максимальное значение критерия, которое соответственно составляет (при X - 5, 6, 7, 8) 5,3; 6,3; 7,1; 7,9. Полученное максимальное значение критерия используем на следующем этапе решения задачи.
Таблица 7.2
| X=x2+x3 | x3 | x2 | g3(x3) | g2(x2) | W2= g3(x3)+ g2(x2) |
| 4,0 | 1,1 | 5,1 | |||
| 3,2 | 2,1 | 5,3 | |||
| 2,2 | 3,1 | 5,3 | |||
| 1,2 | 3,9 | 5,1 | |||
| 4,0 | 2,1 | 6,1 | |||
| 3,2 | 3,1 | 6,3 | |||
| 2,2 | 3,9 | 6,1 | |||
| 4,0 | 3,1 | 7,1 | |||
| 3,2 | 3,9 | 7,1 | |||
| 4,0 | 3,9 | 7,9 |
Рассмотрим теперь распределение 8 комплектов оборудования между тремя рудниками. Все расчеты сведем в таблице 7.3.
Таблица 7.3
| X=x1+x2+x3 | x1 | x2+x3 | g1(x1) | W2(x2, x3) | W3(x1,x2,x3) |
| 7,9 | 7,9 | ||||
| 1,2 | 7,1 | 8,3 | |||
| 2,1 | 6,3 | 8,4 | |||
| 3,0 | 5,3 | 8,3 |
Причем в столбце 5 таблицы 7.3 значения критерия эффективности при выделении оборудования рудникам №2 и 3, определяемые по результатам оптимизации на предыдущем этапе (из столбца 6 таблицы 7.2).
В столбце 6 находим значение критерия, соответствующее не только условно, но и просто оптимальному распределению оборудования.
Максимальная суммарная эффективность (8,4) достигается при выделении руднику №1 2-х комплектов оборудования, а рудникам №2 и 3 - 6 комплектов.
Возвращаясь назад, из данных таблицы 7.2 находим распределение ресурсов между рудниками №3 и 2, x2+x3 = 6. В столбце 6 находим, что при x2+x3 = 6 максимальное значение критерия 6,3 соответствует выделению и на рудник №3, и на №2 – 3-х комплектов оборудования. Таким образом, оптимальное распределение оборудования следующее: х1=2, x2=3, x3=3, максимальный прирост добычи при этом составит 8,4 условных единиц.
Варианты для выполнения лабораторной работы №7
Задание
Горно-обогатительному комбинату дополнительно выделено 8 комплектов (X=8) горного оборудования, которое надо распределить между тремя рудниками таким образом, чтобы общий прирост добычи был максимален. Решите для соответствующего варианта задания задачу распределения ресурсов с помощью динамического программирования.
Подставьте необходимые значения переменных (значения функций эффективности использования инвестиционных ресурсов в зависимости от предоставляемого количества оборудования) для соответствующих вариантов выполнения задания из таблицы 7.5. Предварительно, определите в соответствии со своим вариантом по таблице 7.4 номера рудников для таблицы 7.5 и совокупный объём выделяемых инвестиционных ресурсов (X).
Таблица 7.4
| Номера рудников Коли- чество выделя- емых комплектов горного оборудования (X) | 1-3 | 2-4 | 3-5 | 4-6 | 5-7 | 6-8 | 7-9 | 8-10 | 9-11 | 10-12 |
| 1[2] | ||||||||||
Таблица 7.5
| Выде-ляемое обору-дова-ние | Прирост добычи по рудникам | |||||||||||
| Рудник № | ||||||||||||
| g1(x) | g2(x) | g3(x) | g4(x) | g5(x) | g6(x) | g7(x) | g8(x) | g9(x) | g10(x) | g11(x) | g12(x) | |
| 1,2[3] | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 1,5 | 1,7 | 1,6 | 1,1 | 1,4 | |
| 2,1 | 2,1 | 2,2 | 2,4 | 2,4 | 2,3 | 2,5 | 2,4 | 2,6 | 2,5 | 2,4 | 2,3 | |
| 3,0 | 3,1 | 3,2 | 2,7 | 3,1 | 3,4 | 3,3 | 3,2 | 3,5 | 3,6 | 3,5 | 3,4 | |
| - | 3,9 | 4,0 | 3,7 | 5,2 | 4,6 | 4,4 | 4,7 | 4,3 | 4,2 | 4,4 | 4,5 | |
| - | - | - | - | 5,3 | 5,3 | 5,5 | 5,6 | 5,3 | 5,5 | 5,2 | 5,3 | |
| - | - | - | - | - | - | - | - | 6,5 | 6,4 | 6,2 | 6,3 |
5.Рекомендуемая литература
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студ. Втузов. – 2-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2001. – С.84-112.
2. Резниченко С.С., Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в горной промышленности. – М.: МГГУ, 1997. – С.214-251.