Операторы квантовой механики.

В квантовой механике каждой динамической переменной – координате, импульсу, угловому моменту, энергии ставится в соответствие линейный самосопряжённый (эрмитовый) оператор.

Все функциональные соотношения между величинами, известные из классической механики, в квантовой теории заменяются аналогичными соотношениями между операторами. Соответствие между динамическими переменными (физическими величинами) и квантово-механическими операторами постулируется в квантовой механике и являющегося обобщением огромного экспериментального материала.

1.3.1. Оператор координаты:

Как известно, в классической механике, положение частицы (системы N - частиц) в пространстве в данный момент времени определяется набором координат – векторных или скалярных величин. В основе векторной механики лежат законы Ньютона, основными здесь являются векторные величины – скорость, импульс, сила, момент импульса (угловой момент), момент силы и т.д. Здесь положение материальной точки задаётся радиус-вектором, определяющим её положение в пространстве относительно выбранного тела отсчёта и связанной с ним системы координат, т.е.

Если определены все векторы сил, действующих на частицу, то можно решить уравнения движения и построить траекторию. Если рассматривается движение N – частиц, то целесообразней (вне зависимости от того рассматривается движение связанных частиц или частицы свободны в своих движениях от всякого рода связей) оперировать не векторными, а скалярными величинами – так называемыми обобщёнными координатами, скоростями, импульсами и силами. В основе такого аналитического подхода лежит принцип наименьшего действия, который в аналитической механике играет роль второго закона Ньютона. Характерной чертой аналитического подхода является отсутствие жёсткой связи с какой-либо определённой системой координат. В квантовой механике, каждой наблюдаемой динамической переменной (физической величине) ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор. Тогда очевидно классическому набору координат будет соответствовать набор операторов вида: , действие которых на функцию (вектор) будет сводиться к умножению её на соответствующие координаты, т.е.

откуда следует, что:

1.3.2. Оператор импульса:

Классическое выражение для импульса по-определению имеет вид:

учитывая, что:

будем иметь соответственно:

Поскольку любой динамической переменной в квантовой механике ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор:

тогда соответственно выражение для импульса, выраженное через его проекции на три не эквивалентных направления в пространстве преобразуется к виду:

Значение оператора импульса и его компонент можно получить путём решения задачи на собственные значения оператора:

Для этого воспользуемся аналитическим выражением плоской волны де Бройля, полученным уже нами ранее:

учитывая также, что:

тогда:

 

имеем таким образом:


Воспользовавшись уравнением плоской волны де Бройля, решим теперь задачу на собственные значения оператора импульса (его компоненты):

поскольку:

и функция находится по обе стороны операторного уравнения:

тогда величины амплитуды волны сократятся, поэтому:

таким образом, имеем:

поскольку оператор компоненты импульса (аналогично и ) – есть дифференциальный оператор, то его действие на волновую функцию (вектор), очевидно, будет сводиться к вычислению частной производной от функции вида:

Решая задачу на собственные значения оператора, приходим в выражению:


Таким образом, в ходе проделанных выше выкладок, мы пришли к выражению вида:

т.к.

тогда соответственно:

учитывая, что:

после подстановки получим выражение вида:

Аналогичным образом можно получить выражения и для других компонент оператора импульса , т.е. имеем:

Учитывая выражение для оператора полного импульса:

и его компонент:

имеем соответственно:

Таким образом, оператор полного импульса является векторным оператором и результатом его действия на функцию (вектор) , будет выражение вида:

1.3.3. Оператор момента импульса (углового момента):

Рассмотрим классический случай абсолютно твёрдого тела, вращающегося около неподвижной оси ОО, проходящей через него. Разобьём это тело на малые объёмы с элементарными массами: находящимися на расстояниях: от оси вращения ОО. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси ОО, отдельные его элементарные объёмы с массами , очевидно, опишут окружности различных радиусов и будут иметь различные линейные скорости: . Из кинематики вращательного движения известно, что:

Если материальная точка совершает вращательное движение, описывая окружность радиусом , то через малый промежуток времени она повернётся на угол от своего первоначального положения.

Линейная скорость материальной точки, в таком случае будет равняться соответственно:

поскольку:

тогда:

Очевидно угловая скорость элементарных объёмов твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОО на расстояниях от неё будет равняться соответственно:

При изучении вращения твёрдого тела пользуются понятием момента инерции , который представляет собой физическую величину, равную сумме произведений масс - материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси вращения ОО, относительно которой совершается вращательное движение:

тогда кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

поскольку:

тогда соответственно:

Сравнение формул для кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

показывает, что момент инерции тела (системы) , характеризует меру инертности этого тела. Очевидно чем больше момент инерции, тем большую энергию необходимо затратить для достижения заданной скорости вращения рассматриваемого тела (системы) вокруг неподвижной оси вращения ОО. Не менее важным понятием в механике твёрдого тела является вектор момента сил , так по определению работа перемещения тела на расстояние равна:

поскольку как уже оговаривалось выше при вращательном движении:

тогда соответственно будем иметь:

учитывая тот факт, что:

тогда выражение для работы вращательного движения, выраженное через момент сил можно переписать в виде:

поскольку в общем случае:

тогда, следовательно:

Дифференцируя правую и левую части полученного выражения по , будем иметь соответственно:

учитывая, что:

получаем:

Момент силы (вращательный момент) действующий на тело, равен произведению его момента инерции на угловое ускорение . Полученное уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения, аналогичное уравнению второго закона Ньютона:

здесь вместо силы выступает момент силы , роль массы , играет момент инерции . Исходя из приведенной выше аналогии между уравнениями для поступательного и вращательного движений, аналогом импульса (количества движения) будет являться момент импульса тела (угловой момент) . Моментом импульса материальной точки массой называется векторное произведение расстояния от оси вращения до этой точки, на её импульс (количество движения) ; имеем тогда:

Учитывая, что вектор определяется не только тройкой компонент:

но и явным разложением по ортам координатных осей:

будем иметь соответственно:

Компоненты полного момента импульса можно представить как алгебраические дополнения детерминанта, в котором первая строка – единичные векторы (орты), вторая строка – декартовые координаты и третья строка – компоненты импульса, тогда соответственно будем иметь выражение вида:

откуда следует, что:

Из формулы момента импульса как векторного произведения так же следует выражение вида:

или для системы частиц:

учитывая соотношения вида:

получим выражение для момента импульса системы материальных точек:

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения, равен произведению момента инерции тела на угловую скорость. Момент импульса есть вектор, направленный по-оси вращения таким образом, чтобы с его конца видеть вращение происходящим по-часовой стрелке. Дифференцирование полученного выражения по времени, даёт ещё одно выражение динамики вращательного движения, эквивалентное уравнению второго закона Ньютона:

аналогичное уравнению второго закона Ньютона:

«Произведение момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения ОО, равна моменту силы относительно той же оси вращения». Если мы имеем дело с замкнутой системой, то момент внешних сил равен нулю, тогда, следовательно:

Полученное выше уравнение для замкнутой системы, есть аналитическое выражение закона сохранения импульса. «Момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная, т.е. не изменяется во времени». Итак, в ходе проделанных выше выкладок, мы пришли к выражениям, необходимых нам в дальнейших рассуждениях:


и таким образом имеем соответственно:

здесь:

Поскольку в квантовой механике любой физической величине (динамической переменной) ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор:

тогда соответственно выражения:

преобразуются к виду:


поскольку по-определению:

а также учитывая, что:

Тогда соответственно для каждой из компонент углового момента будем иметь выражение вида:

на основании выражения вида:

получаем далее выражение для оператора полного импульса, который является также векторным оператором:


1.3.4. Оператор квадрата момента импульса:

В классической механике квадрат момента импульса определяется выражением вида:

Поэтому соответствующий ему оператор будет иметь вид:

откуда следует соответственно, что:

1.3.5. Оператор кинетической энергии:

Классическое выражение для кинетической энергии имеет вид:

учитывая, что выражение для импульса:

имеем соответственно:

выражая импульс через его компоненты:


будем иметь соответственно:

Поскольку каждой динамической переменной (физической величине) в квантовой механике соответствует линейный самосопряжённый оператор, т.е.

тогда, следовательно:

учитывая выражения вида:

имеем:

и таким образом, приходим к выражению для оператора кинетической энергии вида:


1.3.6. Оператор потенциальной энергии:

Оператор потенциальной энергии при описании кулоновского взаимодействия частиц с зарядами и имеет вид:

Он совпадает с аналогичным выражением соответствующей ему динамической переменной (физической величине) – потенциальной энергией .

1.3.7. Оператор полной энергии системы:

Классическое выражение для гамильтониана, известное из аналитической механики Гамильтона, имеет вид:

на основании соответствия между квантово-механическими операторами и динамическими переменными:

приходим к выражению оператора полной энергии системы – оператору Гамильтона:

учитывая выражения для операторов потенциальной и кинетической энергии:

приходим к выражению вида:

Операторы физических величин (динамических переменных) – координаты, импульса, углового момента, энергии являются линейными самосопряжёнными (эрмитовыми) операторами, следовательно, на основании соответствующей теоремы, их собственные значения являются действительными (вещественными) числами. Именно это обстоятельство и послужило основанием для использования операторов в квантовой механике, поскольку в результате физического эксперимента мы получаем именно действительные величины. В этом случае собственные функции оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если мы имеем два различных оператора, то их собственные функции будут различными. Однако если операторы коммутируют между собой, то собственные функции одного оператора будут являться также собственными функциями другого оператора, т.е. системы собственных функций коммутирующих между собой операторов будут совпадать: