Виды дифференциальных уравнений первого порядка.
1). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменнымиимеет вид .
Пример1. Решить уравнение .
Решение. Разделим переменные, для чего члены уравнения поделим на ху: , . Интегрируя почленно обе части уравнения, имеем , откуда , , , , . Это общее решение данного дифференциального уравнения.
2). Однородные дифференциальные уравнения.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где - однородные функции одинакового измерения.
Пример 2. Найти частное решение уравнения , если при .
Решение. Записав данное уравнение в виде ; легко можно убедиться в том, что оно однородно. Положим у = zx, откуда dy = z dx + х dz. Подставляем значения у и dy в последнее уравнение: ; ; ; ; ; ; Интегрируя, получаем откуда ; ; ; ; ;
Подставив в найденное общее решение начальные условия, найдем ;
Итак, искомое частное решение будет ; ; или
3) Линейные дифференциальные уравнения.
Линейными дифференциальными уравнениями называютсятакие уравнения, которые содержат неизвестную функцию и ее производную только в первой степени:
или . Если , то уравнение называется линейным уравнением без правой части.Для решения линейных уравнений пользуются подстановкой , где и и v — некоторые функции от х. Иначе говоря, разлагают у на два сомножителя. Следует иметь в виду, что эта операция не вполне определенная. Например, если , то эту функцию можно разложить на множители бесчисленным множеством иных способов: и т.д. Поэтому, полагая один из сомножителей можно выбрать произвольно.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Здесь , — уравнение линейное.
1)Полагаем , тогда . Заменяя и их значениями, получим: . Вынося во втором и третьем слагаемом и за скобки, найденное уравнение перепишем так: (1)
2)Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Это справедливо, так как сомножитель в равенстве берем произвольно. Тогда получим: или
Разделим переменные: , Или .Произвольную постоянную С можно не писать (в данном случаеберем постоянную, равную 0): , ,
3)Теперь уравнение (1) примет вид , ,
, , , . Здесь С писать обязательно, иначе получится решение не общее а частное.
4).Теперь найдем искомую функцию, помня, что , а и : ,
Дифференциальные уравнения II порядка.
Определение.Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию, ее первую производную, а тек же вторую производную от искомой функции, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F (х, у, у',y") = 0, где у= у(х)-искомая функция.
Одним из представителей дифференциальных уравнений второго порядка является линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида (1), где - действительные числа , называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить уравнение (1), нужно решить характеристическое уравнение (2)
При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая, в зависимости от которых строится общее решение данного дифференциального уравнения (1):
Корни уравнения(2) | Частные решения уравнения (1) | Общее решение уравнения (1) |
Действительные и различные: | ||
Равные: | ||
Комплексно-сопряженные: |
Пример 1.Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни . Так как корни действительные и различные, то общее решение записывается в виде .
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Следовательно, общее решение данного уравнения таково: .
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни: . Таким образом, общее решение уравнения записывается в виде
Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ,
Решение. Общее решение уравнения записывается в виде
Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Из первого условия следует, что , , откуда . Учитывая, что , и используя второе начальное условие, находим , . Следовательно, искомое частное решение имеет вид ,
Пример 5. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через точку и касающуюся в этой точке прямой .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни являются комплексно-сопряженными. Уравнение множества интегральных кривых запишется так :
Найдем уравнение искомой интегральной кривой, для чего в равенства
и подставим значения у = 1 и углового коэффициента касательной . В результате получим . Подставив эти значения в общее решение, получим .