Метод моментов. Примеры оценки по методу моментов.

Для точечной оценки параметров распределения.

Суть: приравнивание опр кол-ва выборочных моментов р-мого распределения к соотв кол-ву теоритических моментов того же порядка. В качестве моментов р-мся нач и центральные моменты.

Начальные моменты

Теоретические υk=M(Xk) υ1=M(X1) υ2=M(X2)

Эмпирические Mk= ni*xi^k= x̅в => M1=x̅в

Центральные моменты

Теоретические Mk=M[(X-M(X))k] => 0= M1 ; Dx=M2= M[(X-M(X))2]

Эмпирические mk= ni(xi-x̅в)k => m2= n2(x2-x̅в)2=Dв

 

f(x;θ) – вид плотности распределения – задан. θ – неизвестный параметр, определяющий f(x;θ)

нужно найти точечную оценку θ θ*=ψ(х1…хn)

Приравниваем:

υ11 } (нач моменты)

υ1=М(Х) } => М(Х) = Хв

=> М(Х)l= ∫ хl * f(x;θ) dx = φ (θ) = * ∑xl ,где l=1,2…. – номер момента.

 

Примеры оценки по методу моментов

Пр1.

Показательный з-н распредел. По выборке х1…хn требуется найти оценку параметра λ-?

Показательный з-н: f(x;λ)=λ*e-λ*x x>=0

Т.к. неизвестен всего лишь 1 параметр = > для его определения необходимо 1 ур-ие, т.е. l=1

x>=0 => ∫0xλe-λ*x dx = 1/λ ; = * ∑x = Хв => λ = 1/Хв ;

λ* = 1/Хв = n/ ∑x

Пр2.

Норм з-н распределения. Найти по выборкуе х1…хn неизв параметры Mx-? σ-?

По опр Мх – момент 1го порядка

Мх = ∫x1f(x,mx, σx^2)dx= ∑xi=x̅в

По опр Dх – момент второго порядка

Dх = ∫x1f(x-mx)2f(x,mx, σx^2)= ∑(xi-x̅в)2=Dв

Мх* = Хв

σх* = √Dв