Метод моментов. Примеры оценки по методу моментов.

Для точечной оценки параметров распределения.

Суть: приравнивание опр кол-ва выборочных моментов р-мого распределения к соотв кол-ву теоритических моментов того же порядка. В качестве моментов р-мся нач и центральные моменты.

Начальные моменты

Теоретические υ_k=M(X^k) υ₁=M(X¹) υ₂=M(X²)

Эмпирические M_k= ∑n_i*x_i^k= x̅_в => M₁=x̅_в

Центральные моменты

Теоретические M_k=M[(X-M(X))^k] => 0= M₁ ; D_x=M₂= M[(X-M(X))²]

Эмпирические m_k= ∑n_i(x_i-x̅_в)^k => m₂= ∑n₂(x₂-x̅_в)²=D_в

 

f(x;θ) – вид плотности распределения – задан. θ – неизвестный параметр, определяющий f(x;θ)

нужно найти точечную оценку θ θ*=ψ(х₁…х_n)

Приравниваем:

υ₁=М₁ } (нач моменты)

υ₁=М(Х) } => М(Х) = Х_в

=> М(Х)_l= ∫ х^l * f(x;θ) dx = φ (θ) = * ∑x^l ,где l=1,2…. – номер момента.

 

Примеры оценки по методу моментов

Пр1.

Показательный з-н распредел. По выборке х₁…х_n требуется найти оценку параметра λ-?

Показательный з-н: f(x;λ)=λ*e^-λ*x x>=0

Т.к. неизвестен всего лишь 1 параметр = > для его определения необходимо 1 ур-ие, т.е. l=1

x>=0 => ∫₀^∞ xλe^-λ*x dx = 1/λ ; = * ∑x = Х_в => λ = 1/Х_в ;

λ* = 1/Х_в = n/ ∑x

Пр2.

Норм з-н распределения. Найти по выборкуе х₁…х_n неизв параметры M_x-? σ-?

По опр М_х – момент 1го порядка

М_х = ∫x¹f(x,m_x, σ_x^2)dx= ∑x_i=x̅_в

По опр D_х – момент второго порядка

Dх = ∫x¹f(x-m_x)²f(x,m_x, σ_x^2)= ∑(x_i-x̅_в)²=D_в

М_х* = Х_в

σ_х* = √D_в