Частные производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция имеет частные производные и , которые являются функциями независимых переменных и . Их называют частными производными первого порядка.

Опр. Частные производные от функций и называются частными производными второго порядка от функции .

Существуют четыре частные производные второго порядка:

; ;

; .

Производные и называются смешанными.

Теорема 1. Если смешанные частные производные второго порядка функции непрерывны, то они равны между собой: .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Найдем частные производные первого порядка:

, . Тогда:

, , , .

Опр. Частной производной -го порядка называется частная производная от производной -го порядка.

Теорема 2. Результат повторного дифференцирования функции двух независимых переменных не зависит от порядка дифференцирования при условии, что рассматриваемые частные производные непрерывны.

Частные производные высшего порядка для функций любого числа независимых переменных определяются аналогично и для них справедлива теорема 2.

Опр. Полным дифференциалом -го порядка называется полный дифференциал от полного дифференциала -го порядка и обозначается символом: .

В частности, формула для полного дифференциала второго порядка имеет вид: .

При полный дифференциал не обладает свойством инвариантности.