Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье

 

Теорема Дирихле. Пусть –– периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1) –– кусочно-непрерывная, т.е. непрерывная или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2) –– кусочно-монотонная, т.е. монотонная на всем отрезке либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонная.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1) в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией: ;

2) в каждой точке разрыва функции

,

т.е. сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева;

3) в точках и ( или при , на концах отрезка)

.

Таким образом, если функция удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место разложение (16):

,

причем коэффициенты вычисляются по формулам (17). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции и на концах отрезка .

В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.

Пример 30. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на отрезке формулой

Решение. На рис. 1 изображен график функции . Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она может быть разложена в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:

;

Аналогично находим

.

Исходной функции соответствует ряд Фурье

.

Функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка , поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равенство , т.е.

.

В точках сумма ряда равна

.

График функции показан на рис. 2.