Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функция

u = f(x1, x2, … , xn)

(1)

определена в некоторой области D М Rⁿ и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k (k<n) соотношениями:

Fi(x1, x2, … , xn) = 0 (i = 1,2, … ,k).

(2)

Условия (2) называются уравнениями связи. Пусть координаты точки M₀(x₁⁰, ,x_n⁰) О D удовлетворяют уравнениям связи (2). Точка M₀(x₁⁰, … ,x_n⁰) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность O_δ(M₀) точки M₀ , что для любой точки M(x₁, … ,x_n) О O_δ(M₀) , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство f(M) ≤ f(M₀) (f(M) ≥ f(M₀)) .

Методы нахождения условного экстремумаМетод исключения переменных

Ограничимся для простоты случаем n = 2 , k = 1 , т.е. нахождением условного экстремума функции 2–х переменных.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области D М R² и ее аргументы связаны условием

F(x,y) = 0.

(3)

Допустим, что уравнение (3) определяет неявно функцию y(x) . Тогда можно рассматривать сложную функцию f(x,y(x)) = u(x) . Если эта функция имеет экстремум в точке x₀ и y(x₀) = y₀ , то точка (x₀,y₀) является точкой условного экстремума функции f(x,y) , аргументы которой удовлетворяют уравнению связи (3).

Если уравнение связи (3) можно разрешить относительно y и перейти от неявного задания функции y(x) к явному, то отыскание условных экстремумов в рассматриваемом случае сводится к отысканию обычных (безусловных) экстремумов функции y(x) .