Условный экстремум

Задача на минимум.

Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1 должны иметь знак (-1)^m, где m – число ограничений задачи.

 

Задача на максимум.

Определить матрицы L должен иметь знак (-1)ⁿ, где n – число переменных в задаче. Главный минор порядка m+n-1 должен иметь противоположный знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки.

Пример: Z = f(x)=xy, х²+у²=2.

Критические точки: М1=(1, 1), М2=(-1, -1), =(1, -1), =(-1, 1).

0 -2x -2y

L= -2x -2λ 1 Δ=8 λ(x²+y²)+8xy Δ=-4x²

-2y 1 -2 λ

 

Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ=0,5), минимум – в точках М3, М4 λ=-0,5.

 

Перечень задач для решения при усвоении материала.

Во всех задачах обязательным является построение математических моделей, указание экономического смысла переменных, приведение расчетов и подробное описание результата решения задачи.

 

ТЕМА. «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ».

Задача 1.1.

Предприятие планирует выпускать nвидов продукции П_i (i= 1, 2, … , n). При её изготовлении используются ресурсы Р₁, Р₂, иР₃. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂,иb₃. Расход j-горесурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет a_ij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна С_i денежных единиц.

Требуется:

1.Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;

2.Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;

3.Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи;

4.Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;

5.С помощью двойственных оценокy_j обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Z_maxот реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;

6.Оценить целесообразность приобретения Dbk единиц ресурса K по ценеC_k.

Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 1.1.