Примеры образования зон у некоторых материалов.
Рассмотрим, например, как образуются энергетические зоны у кристалла лития. В атоме Li в нормальном состоянии 2 электрона находятся на 1s уровне и один (валентный) электрон – на 2s уровне. При образовании кристалла Li происходит расширение и расщепление обоих уровней зоны.
На рисунке 4.12 показаны: а) энергетические состояния атома лития;
б) расщепление этих уровней в зависимости от расстояния между атомами r (а0 – постоянная решетки); в) схема энергетических зон кристалла лития.
Отсюда можно предсказать электрические свойства лития: в 1s-зоне имеется N энергетических уровней с 2N электронами на них, т.е. все энергетические уровни заняты электронами. Они не могут участвовать в создании электрического тока в кристалле.
В 2s-зоне из N энергетических уровней занята лишь половина (возможно иметь по два электрона на каждом уровне с разными спинами). Поэтому внешнее электрическое поле может изменить состояние этих электронов и они могут принять участие в электропроводности.
| r |
| E |
| E |
| ΔE1 |
| ΔE2 |
| a0 |
| 1s |
| 2s |
| 2s |
| 1s |
| a) |
| б) |
| в) |
 |
Рисунок 4.12
Следовательно литий является металлом, проводником. Аналогичная картина наблюдается для Na, K и др.
Рассмотрим бериллий Ве(рисунок 4.13). В его атоме 2s-состояния заняты двумя электронами, поэтому при образовании 2s-зоны она оказывается целиком занятой. Но 2р-состояния пусты и 2р-зона свободна. При образовании кристалла 2s-зона перекрывается пустой 2р-зоной, поэтому образуется частично заполненная зона.
| r |
| E |
| a0 |
| 2s |
| 2р |
| 2s |
| 2р |
| 2s |
| 2р |
| |
Рисунок 4.13
Поэтому бериллий является проводником.
Рассмотрим алмаз(рисунок 4.14). В атоме углерода 4 валентных электрона: по два электрона на 2s и 2р уровнях. (На 2р-уровне могут находиться 6 электронов, отличающихся магнитными квантовыми числами l и спинами). При сближении атомов углерода уровни 2s и 2р сначала расщепляются на две зоны (N энергетических уровней в 2s-зоне и 3N энергетических уровней в 2р-зоне), но затем они сливаются в единую зону с 4N энергетическими уровнями, на которых могут разместиться 8N электронов.
| r |
| E |
| a0 |
| 2р |
| 2s |
| 2р |
| 2s |
| E |
 |
Рисунок 4.14
При дальнейшем сближении единая энергетическая зона расщепляется на две зоны, в каждой из которых имеется по 2N уровней с возможным расположением на них 4N электронов. Все четыре валентных электрона атома углерода располагаются в нижней зоне, целиком ее заполняя. Верхняя зона оказывается свободной. Эти зоны разделены запрещенной зоной ΔЕg=5,2 эВ (большая энергия). Следовательно, алмаз является изолятором.
Контрольные вопросы
1. Опишите сущность адиабатического и одноэлектронного приближения
2. Объяснить причины образования энергетических зон в кристалле. Чем определяется ширина энергетической зоны?
3. Записать дисперсионное соотношение для свободных электронов и показать его на графике.
4. В каких пределах ограничены физически различные значения волнового вектора k в кристалле? Привести дисперсионную зависимость Е(k) для электрона, движущегося в кристалле.
5. Записать функцию Блоха и объяснить её физический смысл.
6. Что описывает модель Кронига-Пенни?
7. Дать определение зонам Бриллюэна.
8. В чём заключается физическая причина разрывов в энергетическом спектре электрона проводимости (причина существования запрещённых зон)?
9. Каков физический смысл эффективной массы электрона? Как она изменяется?
10. Какие вещества называют проводниками и полупроводниками в зонной теории?
11. Показать принцип заполнения энергетических зон на примерах лития, бериллия и алмаза. Как объясняются их электрические свойства с точки зрения зонной теории?
12. Описать механизмы образования носителей заряда в полупроводниках (примесных и собственных) и металлах. Показать их на энергетических диаграммах.