Эффективная масса электрона

Особенности движения электронов в кристалле обусловлены их взаимодействием с кристаллической решеткой. Оказывается, что движение отдельного электрона в кристалле можно описывать тем же уравнением, что и для свободной частицы, т.е. в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы.

Рассмотрим движение электрона в кристалле под действием внешнего электрического поля. Внешнее электрическое поле приводит к увеличению скорости электрона и, следовательно, его энергии. Поскольку электрон в кристалле - это микрочастица, описываемая волновой функцией, то энергия электрона зависит от его волнового вектора. Зависимость между этими двумя характеристиками электрона в кристалле определяется дисперсионным соотношением, которое в свою очередь зависит от строения энергетических зон. Поэтому при расчете движения электрона в кристалле необходимо исходить из закона дисперсии.

Для свободного электрона E=ħ²k²/(2m) (см.4.5).

Продифференцировав это уравнение по k, получим:

(4.16).

где - скорость поступательного движения электрона. Отсюда

(4.17)

В таком виде выражения для импульса и скорости поступательного движения электрона можно использовать и для электрона в периодическом поле.

Пусть на кристалл наложено внешнее электрическое поле, напряженностью ε, которое действует на электрон силой F= -eε, сообщая ему ускорение

(4.18)

За время dt сила F совершит работу А по перемещению электрона:

Эта работа идет на изменение энергии электрона на величину . Отсюда . Подставляя это выражение в (4.18), получим

. (4.19)

Уравнение (4.19) устанавливает связь между ускорением электрона и силой, действующей на него со стороны внешнего поля e. Оно выражает, следовательно, второй закон Ньютона. Таким образом, под действием этой силы электрон в периодическом поле кристалла движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, если бы он обладал массой

. (4.20)

Масса m_эф называется эффективной массой электрона. Приписывая электрону эту массу, можно считать электрон свободным.

Строго говоря, эффективная масса электрона никакого отношения к массе свободного электрона не имеет. Гиперссылка 4.6. Она является характеристикой системы электронов в кристалле в целом. Вводя понятие эффективной массы, мы реальному электрону в кристалле, связанному взаимодействиями с кристаллической решеткой и другими электронами, сопоставили некую новую свободную “микрочастицу”, обладающую лишь двумя физическими параметрами реального электрона - его зарядом и спином. Все остальные параметры - квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия и т.д. - определяются свойствами кристаллической решетки. Такую частицу часто называют квазиэлектроном,электроном-квазичастицей,носителем отрицательного заряда или носителем заряда n-типа, чтобы подчеркнуть ее отличие от реального электрона.

Масса m_эф может быть как положительной, так и отрицательной. По абсолютному значению она может быть как во много раз больше, так и во много раз меньше массы покоя электрона m_п.

Для электрона, располагающегося у дна энергетической зоны, энергия Е_дно=Е_мин+А_Д×(ka)² (см. (4.14)), вторая производная от нее по k равна d²E/dk²=2A_д∙а². Подставляя это в (4.20), получим

(4.21)

Так как А_Д>0, то m_эф.дно>0 – электроны у дна энергетической зоны обладают положительной массой. Поэтому во внешнем поле кристалла они ведут себя нормально, ускоряясь в направлении внешней силы. Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов у дна этой зоны.

Для электронов, находящихся у вершины зоны, энергия Е_верх=Е_макс-А_Д×(ka)² (см. (4.15)), вторая производная от нее по k равна d²E/dk²= -2A_Д×а². Эффективная масса:

(4.22)

Она является отрицательной. Поэтому во внешнем поле кристалла они ведут себя аномально, ускоряясь в направлении, противоположном действующей силе. Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов m_{эф.верх}.

Это происходит потому, что электрон в кристалле обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией. При движении под действием внешней силы F часть работы этой силы может перейти в кинетическую энергию, другая часть – в потенциальную энергию U (А = Е_к +U). В этом случае кинетическая энергия, а следовательно и скорость электрона, будут возрастать медленнее, чем у свободного электрона. Электрон становится как бы тяжелее.

Если вся работа будет переходить в потенциальную энергию, то приращение Е_к и скорости электрона не будет, то есть электрон можно представить как частицу с бесконечно большой эффективной массой..

Если при движении электрона в U будет переходить не только вся работа внешней силы, но и часть Е_к, так что U =А + Е_к, то скорость такого электрона будет уменьшаться, он будет вести себя как частица с отрицательной эффективной массой.

В кристалле может реализоваться случай, когда под действием внешней силы F в Е_к переходит не только вся работа внешней силы, но и часть потенциальной энергии электрона, так что Е_к = А +U. У такого электрона Е_к и скорость будут расти быстрее, чем у свободного электрона. Он становится легче свободного.

На рисунке 4.10 показан характер изменения полной энергии электрона Е(k), скорости его поступательного движения v(k) и эффективной массы m_эф с возрастанием значения волнового вектора k в пределах от 0 до ±p/а.

У дна зоны (вблизи k=0), пока с увеличением k энергия электрона растет пропорционально k², скорость поступательного движения электрона v~ dE/dk увеличивается пропорционально k , ускорение положительно и эффективная масса m_ЭФ ~ сохраняет постоянное положительное значение.

В точке А перегиба E(k) вторая производная d²E/dk²=0, а первая производная dE/dk достигает максимума. Поэтому при приближении к этой точке m_эф ® ¥, а v®v_max.

За точкой перегиба dE/dk начинает убывать, поэтому убывает v, следовательно ускорение отрицательно, что эквивалентно изменению знака m_эф с положительного значения на отрицательное. При этом может измениться и абсолютная величина m_ЭФ ~ , если меняется кривизна кривой Е(k) , пропорциональная d²E/dk². У вершины зоны Е(k) снова становится квадратичной функцией от k и m_ЭФ достигает постоянного отрицательного значения .

-p/а

p/а

Е0

k

k

k

B1

V

E

A1

A

B

p/a

-p/a

 

Рисунок 4.10

 

Исходя из изложенного выше, можно сделать следующие выводы.

Кристаллическое периодическое поле не меняет радикально картину движения электрона по сравнению с вакуумом, а изменяет лишь эффективную массу электрона.

Эффективная масса электрона значительно отличается от массы электрона и имеет различные значения для разных волновых векторов электрона. При малых значениях модуля k ее значение, задаваемое второй производной функции E(k), оказывается положительным, а при k близких к границе зоны Бриллюэна - отрицательным. В последнем случае получается, что внешняя сила не ускоряет, а тормозит электрон. Парадокса здесь нет, поскольку торможение связано с влиянием периодического поля кристалла на движение электрона. Такие электроны ведут себя во внешних электромагнитных полях как частицы с отрицательной массой или как положительно заряженные частицы. Такую частицу можно считать обладающей либо отрицательной массой, либо зарядом противоположного знака, что эквивалентно, поскольку ускорение частицы под действием внешнего электромагнитного поля меняет свой знак, как при изменении знака массы, так и изменении знака заряда. Такие положительно заряженные частицы принято называть дырками; движение дырок будет рассмотрено в разделе, посвященном полупроводникам.

Точке перегиба на рис. 4.10 соответствует согласно (4.20) бесконечно (или же очень) большая эффективная масса. Такой электрон практически не меняет своей скорости под влиянием внешней силы.

Для большей части электронов эффективная масса, как правило, положительна. В частности, она положительна у всех электронов, если зона заполнена наполовину или менее. Отрицательной эффективной массой обладают лишь электроны в состояниях вблизи границы первой зоны Бриллюэна.