Надежность нерезервированной системы

ГЛАВА 6 АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

Предположим, что невосстанавливаемая система состоит из элементов, вре­мена до отказа у которых являются независимыми случайными величинами Пусть Pj(t) и fj(t) — вероятность безотказной работы и плотность рас­пределения времени до отказа /-го элемента соответственно Определим следующие характеристики надежности системы: вероятность безотказной работы P_c(t), среднее время безотказной работы 7j, плотность распределения времени до отказа f_c(t), интенсивность отказа А,_с(/). Рас­смотрим случаи нерезервированной и структурно резервированной системы при общем и раздельном резервировании с постоянно включенном резервом и по методу замещения.

 

Надежность нерезервированной системы

Структурная схема (схема расчета надежности; нерезервированной системы, состоящей из и элементов, приведена на рис. 6.1.

 

 

Такое соединение i теории надежности называется основным. В данном слу­чае отказ системы происходит при отказе элемента с минимальным временем исправной работы, т. е.

Х_с = min(X₁, Х₂,..., Хn),

 

где Х_с — время работы системы до отказа. При этом остальные элементы прекращают работу.

 

По теореме умножения вероятностей получим:

 

р(х_с > о=р( твд, *₂ Х_п) >t)=

= p(x_x>t,x₂>t х_п > 0 = П P(Xj > О»

У=1

 

здесь t — время функционирования системы.

 

Отсюда следует, что вероятность безотказной работы системы равна произ­ведению вероятностей безотказной работы ее элементов:

(6.1)

 

Так как f(t) = -P\t), то

Среднее время безотказной работы, являясь математическим ожиданием вре­мени до отказа системы, вычисляется по формуле:

 

или

(6.2)

 

Определим интенсивность отказов системы По определению, интен­сивности отказов

поэтому

(6.3)

Таким образом, интенсивность отказов системы с основным соединением элементов равна сумме интенсивностей отказов ее элементов, независимо от их законов распределения времени до отказов.

Если элементы имеют одинаковую надежность, то означает, что интенсивность отказов системы, составленной из равнонадежных элементов, в п раз превышает интенсивность отказов элемента.

Получим формулы показателей надежности системы для С1учая постоянных интенсивностей отказов элементов. В данном случае

Тогда

т. е.

(6.4)

где

 

Среднее время безотказной работы

т.е

(6.5)

ПРИМЕР 6.1. Зремя исправной работы каждого элемента нерезервирован- ний системы имеет распределение Вейбулла с одинаковым параметром фор­мы а и параметром масштаба j = 1, 2,..., п . Найти закон распределения времени до отказа системы.

Решение. Отказы элементов системы имеют распределение Вейбулла, по-

этому. . Тогда зависимость P_c(t) будет иметь вид:

Это значит, что время безотказной работы системы также имеет распределение Вейбулла с параметрами , где