Доказательство теоремы Карно

Из определения энтропии (1) следует . Проинтегрировав это выражение, можно найти количество теплоты , полученной системой при переходе из состояния с энтропией, равной S1, в состояние с энтропией S2:

. (9)

В соответствии с (9) количество теплоты можно найти как площадь под графиком функции в пределах от S1 до S2 (рис.2).

Используя T-S-диаграмму, докажем теорему Карно. Первая часть теоремы Карно гласит:

1) КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и охладителя:

. (10)

Доказательство:

На рис.3 изображён цикл Карно в осях T-S. Процесс 1→2 – это изотермическое расширение при температуре T1 нагревателя (энтропия при расширении возрастает); 3→4 – это изотермическое сжатие при температуре T2 охладителя (энтропия уменьшается). Процесс 2→3 – это адиабатическое расширение (температура при этом понижается), 4→1 – адиабатическое сжатие (температура повышается). КПД теплового двигателя равен

, (11)

где Q1 – количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя, Q2 – количество теплоты, отданной рабочим телом охладителю. Пользуясь свойством T-S-диаграммы, из графика рис.3 определим Q1 – это площадь под отрезком 1-2 (горизонтальная штриховка):

. (12)

Аналогично, Q2 – это площадь под отрезком 3-4 (вертикальная штриховка):

. (13)

Из (11)-(13) получим (10):

.

Вторая часть теоремы Карно:

2) КПД любого обратимого цикла не больше КПД цикла Карно с теми же температурами нагревателя и охладителя:

. (14)

Доказательство:

Рассмотрим произвольный обратимый цикл abcda (рис.4) с температурами нагревателя и холодильника Т1 и Т2 соответственно. На T-S-диаграмме опишем цикл Карно 12341 как прямоугольник вокруг обратимого цикла. КПД обратимого цикла

, (15)

где Q1 – количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя, в соответствии с (9) равно площади под кривой abc и не больше площади под изотермой 1→2 цикла Карно:

; (16)

Q2 количество теплоты, отданной рабочим телом нагревателю, равно площади под кривой adc и не меньше площади под изотермой 3→4 цикла Карно:

. (17)

Из (15)-(17) получим:

 

 

.

Третья часть теоремы Карно:

3) КПД любого необратимого цикла меньше КПД цикла Карно с теми же температурами нагревателя и охладителя:

. (18)

Доказательство:

Рассмотрим необратимый цикл с температурами Т1 и Т2 нагревателя и холодильника соответственно. Из-за необратимости максимальная температура рабочего тела Т1Р.Т. будет меньше Т1, а минимальная Т2Р.Т. – больше Т2:

, . (19)

Тогда

.