Закон сохранения механической энергии и однородность времени

Из свойства симметрии однородности времени следует, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала системы отсчета.

Если в два произвольных момента времени все тела замкнутой системы поставлены в одинаковые условия, то, начиная с этих моментов времени, все явления в системе протекают одинаково.

На основании классической механики Ньютона имеем

А = W_k2 - W_k1.

Силы, действующие на м.т., связаны с потенциальной энергией выражением

,

где потенциальная энергия задана в виде функции состояния, т.е.

Wp = Wp(x, y, z, t).

Например, поле, где находится м.т., изменяется со временем (пульсирует).

Тогда работа всех сил

где

Следовательно,

или .

C другой стороны, полная работа A = DW_k = W_k2 - W_k1.

Следовательно,

.

В случае замкнутой системы, в силу однородности времени, производная потенциальной энергии по времени равна нулю, т.е. .

Таким образом, получаем закон сохранения механической энергии

W = W_k + W_p = const.

Замечание: В классической физике взаимосвязь кинетической энергии, импульса и массы описывается формулой W_k=p²/(2m).

В релятивистской физике согласно специальной теории относительности полная энергия частицы W=qmc², р=qmv - импульс частицы, где , т.е.

После преобразований получим формулу

W² = p²c² + m²c⁴,

которая выражает взаимосвязь массы, импульса и энергии, т.е. - закон сохранения массы, импульса и энергии.

Так как для частиц изолированной системы р=const (закон сохранения импульса) и W=const (закон сохранения механической энергии), то из последней формулы следует, что m=const и c=const.

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной изфундаментальных симметрий, — однородностью пространства.

Однор́одность пространства означает, что нет такой точки в пространстве, относительно которой существует некоторая «выделенная» симметрия, все точки равноправны, поэтому рассматриваемый эксперимент не зависит от нашего выбора точки отсчета. К примеру, измерим период колебаний маятника, полученный результат обозначим как Т1. Теперь перенесем маятник в соседнюю комнату, и проведем то же измерение. Результат запишем как Т2. Оказывается, что Т₁=Т₂, то есть исход эксперимента не зависит от нашего положения, это и есть проявление однородности пространства.

Однородность — одно из ключевых свойств пространства в классической механике. Пространство называется однородным, если параллельный перенос системы отсчета не влияет на результат измерений.

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некаясимметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

Вывод из формализма Лагранжа

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела зависящую от обобщённых координат обобщённых скоростей и времени t. Здесь точка над qобозначает дифференцирование по времени, Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда для каждой -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: где В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: С учётом того, что вектор — произвольный, последнее требование выполняется при:

Воспользуемся уравнением Лагранжа

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

.

Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:

Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: что приводит к релятивистскому определению импульса

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел, которая остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

Закон сохранения момента импульсаМомент импульса – физическая величина, характеризующая количество вращательного движения. Подчиняется закону сохранению, вытекающему из изотропности пространства.

Все вращающиеся тела обладают моментом импульса. Из формулы для расчета момента импульса L=mVr, где m – масса, V – скорость, r – радиус, видно, что с уменьшением радиуса должна возрастать скорость. Этим законом пользуются балерины, исполняя фуэте. Особенно хорошо этот закон проявляется в фигурном катании. При начале вращения руки и нога разводятся на максимально возможное расстояние от тела. Прижимая части тела обратно, уменьшая радиус, фигурист и балерина начинают вращаться быстрее, вызывая, при удаче, восторг зрителей.

Сохранение момента импульса происходит как в процессах микромира, так и в масштабах вращающихся звезд и галактик – он имеет всеобщий характер.

Вопрос 10. Средневековая физика. Выдающиеся ученые эпохи средневековья (Бэкон, Галилей, Кеплер).

Физика (от др.-греч. φύσις — природа) — ветвь науки, которая развилась из философии, астрономии и других областей знаний. Была известна как "натуральная философия" вплоть до конца XIX века. В настоящее время физика традиционно определяется как наука о материи, энергии и взаимоотношений между ними. Физика, в некотором смысле, самая древняя и фундаментальная из всех наук; её открытия широко применяются во всех естественных науках. Другие науки обычно изучают более ограниченный круг вопросов и могут рассматриваться как бывшие ветви физики, ставшие самостоятельными науками.

Первые дошедшие до нас работы, связанные по тематике с физикой, восходят к временам Древней Греции.

Средневековая Европа

XIII век: изобретены очки, правильно объяснено явление радуги, освоен компас.

Изучение античных работ вернулось в Европу через переводы арабских текстов. Эти работы оказали значительное влияние на таких средневековых философов, как Фома Аквинский. В соответствии с учением Аристотеля, средневековые мыслители считали, что тела тяготеют к их естественному месту пребывания. Например, "тяжёлые" тела тяготеют вниз, "лёгкие" вверх. Считалось, что для поддержания движения требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Рассмотрим следующий вопрос: почему камень, брошенный вертикально вверх, продолжает некоторое время двигаться вверх? Для ответа на этот вопрос средневековые учёные, такие как Буридан, развивали теорию импетуса. Она сделала шаг в сторону создания понятия инерции.

Бэкон (Bacon, Baco) Роджер (ок. 1214—1292 или вскоре после) — англ. философ и естествоиспытатель, «удивительный доктор» (doctor miralibis). Францисканец, обучался и преподавал в Парижском и Оксфордском ун-тах (кон. 1220-х—1257). Среди главных трудов Б.: написанное для папы Климента IV энциклопедическое «Большое сочинение» («Opus majus»), а также «Малое сочинение» («Opus minus»), «Третье сочинение» («Opus tertium») и др, Среди физических дисциплин особое внимание Б. уделяет оптике, или науке о перспективе, развивая учение о передаче всех естественных воздействий посредством т. н. умножения видов, т.е. трансмиссии форм действующей причины, мыслимой по аналогии с умножением света.

Кроме того, Б. известен как конструктор приборов и механизмов, возможный изобретатель пороха особую славу принесли ему смелые догадки относительно будущих изобретений и открытий, изложенные в «Посланиях о тайных действиях искусства и природы и о ничтожестве магии». Так, им высказываются идеи создания очков, подзорной трубы, телескопа, безопорного моста, самодвижущихся повозок и кораблей, летательного аппарата, аппарата для подводного погружения, военных зажигательных стекол и др.

Галиле́о Галиле́й Дата рождения: 15 февраля 1564 года

Дата смерти: 8 января 1642 года

Место рождения: город Пиза, регион Тоскана, Флорентийское герцогство, Италия (Italy)

Галилео Галилей - ученый, физик и астроном. Галилео Галилей, которому принадлежат, пожалуй, одни из самых важных открытий в области астрономии, менее известен по своим достижениям в сферах математики, механики и философии.

Достижения Галилео Галилея:

Первый астроном, который изобрел и использовал телескоп, сделав совершенно неизвестные к тому времени открытия. Он увидел пятна на Солнце, горы на Луне, спутники Юпитера, звезды в Млечном Пути, вращение Солнца, фазы Венеры и многое другое.

Проповедовал гелиоцентрическую систему мира.

Основал экспериментальную физику, заложил базис для классической механики.

Изобрел не только телескоп, но и термометр, микроскоп, циркуль и гидростатические весы.

Описал закон неуничтожимости вещества.

Ио́ганн Ке́плер (нем. Johannes Kepler; 27 декабря 1571 года, Вайль-дер-Штадт — 15 ноября 1630 года, Регенсбург) — немецкий математик, астроном, механик, оптик, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы.

Астрономия

Второй закон Кеплера: закрашенные площади равны и проходятся за одинаковое время

Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и с превосходной точностью объяснили видимую неравномерность этих движений. Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую — эллипс. Второй закон установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу, а третий позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.

У Кеплера Земля — рядовая планета, движение которой подчинено общим трём законам. Все орбиты небесных тел — эллипсы (движение по гиперболической траектории открыл позднее Ньютон), общим фокусом орбит является Солнце.

Кеплер вывел также «уравнение Кеплера», используемое в астрономии для определения положения небесных тел.

Законы планетной кинематики, открытые Кеплером, послужили позже Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются прямыми следствиями закона тяготения.

Кеплер немало сделал для принятия протестантами григорианского календаря (на сейме в Регенсбурге, 1613, и в Ахене, 1615).