Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.

Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Р_n(т) появления события А точно т раз, если п достаточно большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида .

Локальная предельная теорема Лапласа (доказательство см. в [4]). Пусть р = Р(А) — вероятность события А, причем 0<р<1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т раз, выражается приближенной формулой Лапласа Р_n(т)» , (9.16)

где q= 1-p, .

Для функции j(x) имеется таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений х (функция j(x) четная).

Пример 9.15.Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Решение. Здесь р= 0,2, q= 0,8, n= 100 и т= 20. Отсюда = =4 и, следовательно, t= = =0. Учитывая, что »0,40, из формулы (9.16) получаем Р₁₀₀(20) »0,40×¼ = 0,1 (для получения приближенного равенства »0,40 можно использовать калькулятор).

 

Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос, какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = p (0 <p< 1), при n испытаниях (как и прежде число испытаний велико) появится не менее k раз и не более l раз. Эту искомую вероятность обозначим через Р_n(k, l).

Справедлива следующая приближенная формула

Р_n(k, l)» , (9.17)

где x_k= , x_l= . (9.18)

Это составляет содержание интегральной предельной теоремы Лапласа.

Введем функцию

называемую функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Очевидно, Ф(х) есть первообразная для функции j(х). Так как j(х)>0 в (-¥, +¥), то Ф(x) — возрастающая функция в этом интервале (см. подразд. 3.7, п. 1, теорема 3.4). На основании формулы Ньютона—Лейбница (см. подразд. 4.4, п. 2) из формулы (9.17)

Р_n(k, l)» Ф(х_l)- Ф(х_k) (9.20)

Это — интегральная формула Лапласа.

Как известно (см. подразд. 4.5, примечание), интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для функции (9.19) составлена таблица (см. приложение 2) ее значений для положительных значений х, так как Ф(0) = 0 и функция Ф(х) нечетная, Ф(-х)= = =- Ф(х) (t=-z, dt=

=-dz).

Пример 9.16.Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найдем вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.

Решение. Здесь п = 400, k = 70, l= 100, р = 0,2, q = 0,8, поэтому в силу равенств (9.18) х_k = -1,25, х_l = 2,5 и согласно формуле (9.20) имеем

Р₄₀₀ (70, 100) »Ф(2,5)-Ф(-1,25) = Ф(2,5)+Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.