Магнетизм

Примеры решения задач

31. Бесконечно длинный прямой проводник согнут под прямым углом, как показано на рис. 1. По проводнику течет ток А. Найти магнитную индукцию в точках М и N, если см.

 

Дано: А ,0 см = 5,0×10-2 м	Решение Величина магнитной индукции в точках М и N может быть найдена по принципу суперпозиции:
а) – ? б) – ?	, (1)

где – магнитная индукция от полубесконечной части проводника, лежащей вдоль оси Х; – магнитная индукция от полубесконечной части проводника, лежащей вдоль оси Y. Модуль вектора магнитной индукции может быть рассчитан на основе закона Био – Савара – Лапласа. Нас интересует и будет использоваться результат расчета для прямолинейного отрезка проводника, представленного на рис. 2. Модуль вектора магнитной индукции в точке А на расстоянии b от отрезка проводника выражается формулой

, (2)

где – магнитная постоянная, и – углы между направлениями тока и направлениями радиус-векторов и – начала и конца отрезка (см. рис. 2).

В точке М (см. рис. 1) вклад в величину магнитной индукции от полубесконечной части проводника, лежащей вдоль оси Х, равен нулю ( ). Вклад в величину магнитной индукции от полубесконечной части проводника, лежащей вдоль оси Y, характеризуется углами и . Поэтому, как это следует из формул (1) и (2), модуль вектора магнитной индукции в точке М:

мкТл.

Направление вектора определяется правилом правого винта и показано на рис. 1.

В точке N, как это следует из правила правого винта, вектора и направлены вдоль одной линии перпендикулярно плоскости рис. 1. Поэтому модуль вектора магнитной индукции в точке N равен сумме модулей векторов и . Для величины магнитной индукции , как следует из рис. 1, угол равен нулю, а угол . Для величины магнитной индукции, как следует из рис.1, угол , а угол . Поэтому, как это следует из формул (1) и (2), модуль вектора магнитной индукции в точке N равен:

Тл мкТл.

Направление вектора определяется правилом правого винта и показано на рис.1.

Ответ: а) мкТл; б) мкТл.

 

32. Тонкое кольцо радиусом см заряжено равномерно с линейной плотностью заряда нКл/м. Кольцо вращается с частотой об/c. относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Определить магнитный момент , обусловленный вращением кольца.

Дано: см нКл/м об/c	Решение: Вращение заряженного кольца представляет собой круговой ток. Круговой ток создает в пространстве магнитный момент, величина модуля которого определяется выражением:
– ?	,

где – сила кругового тока; – площадь контура (кольца).

Сила кругового тока характеризуется количеством заряда, пересекающего площадку, перпендикулярную линии кольца в единицу времени. Поэтому для силы тока получается: , где – заряд кольца.

Таким образом модуль магнитного момента: Направление вектора определяется правилом правого винта. Поэтому вектор направлен по оси кольца и его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости вращения кольца.

Ответ:

 

33. Длинный прямой соленоид с сердечником намотан из проволоки диаметром мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Найти напряженность магнитного поля внутри соленоида при силе тока А. Магнитную проницаемость сердечника соленоида при данной силе тока принять равной 800.

Дано: мм А	Решение Для длинного прямого соленоида можно пренебречь краевыми эффектами, и модуль напряженности внутри соленоида определяется формулой
а) – ? б) – ?	, (1)

где – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины. Так как витки плотно прилегают друг к другу, то их число на единицу длины

. (2)

Из формул (1) и (2) для модуля напряженности имеем

А/м.

Вектор направлен параллельно оси соленоида.

Как известно, вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности магнитного поля соотношением

(3)

Из условия задачи и выражения (3) для магнитной индукции внутри соленоида получим

Вектор направлен параллельно оси соленоида.

Ответ: А/м; Тл.

 

34. Тороид с сердечником, длина которого по средней линии м, имеет воздушный зазор шириной мм. Обмотка тора равномерно распределена по всей его длине с числом витков на единицу длины см^-1. Найти силу тока в обмотке, при которой магнитная индукция в зазоре будет равна Тл. Магнитную проницаемость сердечника тороида при данной силе тока принять равной 800.

Дано: ,0 м ,0 мм ,0 см-1 Тл	Решение По теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля можно записать , (1) где – макроскопические точки, охватываемые контуром.
– ?	Для тороида по средней линии левая часть формулы (1) принимает вид

, (2)

где – напряженность магнитного поля в сердечнике; – напряженность магнитного поля в воздушном зазоре. Правая часть выражения (1) в случае тороида с обмоткой принимает форму

, (3)

где – число витков всей обмотки тора.

Величины напряженностей магнитного поля и , в случае пренебрежения рассеянием магнитного потока связаны с магнитной индукцией известными соотношениями:

, (4)

. (5)

Приравнивая выражения (2) и (3) с использованием формул (4) и (5), для силы тока получим

А.

Ответ: А.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.23. Ток силы I = 1,0 А циркулирует в контуре, имеющем форму равнобочной трапеции. Отношение оснований трапеции h = 2 : 1. Найти магнитную индукцию в точке А, лежащей в плоскости трапеции (см. рисунок). Меньшее основание трапеции d = 100 мм, расстояние b = 50 мм.

(B = = 1,4 мкТл)

d A

 

b

 

3.24. В тонком проводнике, изогнутом в виде правильного шестиугольника со стороной а = 20 см, идет ток I = 10 А. Определить магнитную индукцию в центре шестиугольника.

(B = 35×10^-6 Тл)

 

3.25. Оценить индукцию магнитного поля В, создаваемого электроном в центре атома водорода, при движении электрона по первой боровской орбите, радиус которой а = 0,53×10^{-10 м.}

(12,5 Тл)

 

3.26. По витку радиусом R = 10 см течет ток I = 50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле В = 0,20 Тл. Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол j = 60° с линиями индукции.

(0,16 Н×м)

 

3.27. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d = 0,20 мм. Определить магнитную индукцию на оси соленоида, если по проводу течет ток I = 0,50 А.

(6,3 мТл)

 

3.28. По тонкому стержню длиной l = 40 см равномерно распределен заряд Q = 60 нКл. Стержень вращается с частотой n = 12 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии а = l/3 от одного из его концов. Определить магнитный момент P_m, обусловленный вращением стержня.

(4,0×10^-8 А×м²)

 

3.29. Заряд Q = 0,10 мкКл равномерно распределен по стержню длиной l = 50 см. Стержень вращается с угловой скоростью w = 50 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Найти магнитный момент Pm, обусловленный вращением стержня.

(5,2×10^-8 А×м²)

 

3.30. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I = 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l = 65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток j, пронизывающий рамку?

(4,5×10^-6 Вб)

 

3.31. Стержень длиной l = 20 см заряжен равномерно распределенным зарядом с линейной плотностью t = 0,20 мкКл/м. Стержень вращается с частотой n = 10 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить магнитный момент P_m, обусловленный вращением стержня.

(P_m = 1,7×10^-8 А×м²)

 

3.32. Диск с равномерно распределенным по его плоскости зарядом Q равномерно вращается вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости с частотой n. Радиус диска R. Найти магнитный момент диска относительно оси z.

(P_m = (1/2)QpnR² А×м²)

3.33. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l₀ = 5,0 мм. Длина l средней линии кольца равна 1,0 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I = 4,0 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре 0,50 Тл? Напряженность поля в металле Н = 1,5×10³ А/м. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре пренебречь.

(N = 8,7×10²)

 

3.34. На сердечнике в виде тора диаметром d = 500 мм имеется обмотка с числом витков N = 1000. В сердечнике сделана поперечная прорезь, в результате чего образовался воздушный зазор ширины b = 1,0 мм. При силе тока в обмотке I = 0,85 А напряженность поля в зазоре Н = 600 кА/м. Определить магнитную проницаемость m железа при этих условиях. Рассеянием поля у краев зазора пренебречь.

( = 3,8×10³)

 

3.35. Тонкий металлический стержень длиной l = 1,2 м вращается с частотой n = 120 мин^-1 в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к стержню и отстоящей от одного из его концов на расстоянии l₁ = 0,25 м. Вектор параллелен оси вращения, В = 0,10 мТл. Найти разность потенциалов I, возникающую между концами стержня. Выполните рисунок, поясняющей решение задачи.

(0,53 мВ)

 

3.36. В магнитное поле, изменяющееся по закону (В_о = 0,10 Тл, ), помещена квадратная рамка со стороной а = 50 см, причём нормаль к рамке образует с направлением поля угол a = 45°. Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 5,0 с.

( )

 

3.37. Электрон движется в однородном магнитном поле, индукция которого Тл, по окружности радиусом R = 3,0 см. Определить скорость и энергию электрона, а также цилиндрическую (ларморову) частоту его вращения .

( м/с; Дж; рад/с)

3.38. Электрон, обладая скоростью мм/с, влетает в однородное магнитное поле под углом к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля кА/м. Определите 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали. Изобразите качественно траекторию электрона в магнитном поле.

(1) мм; 2) мм)

 

3.39. Катушку индуктивностью Гн подключают к источнику тока. Определите сопротивление катушки, если за время с сила тока через катушку достигает 80 % предельного значения. Постройте график зависимости силы тока (в относительных единицах силы тока) от времени.

( Ом)

 

3.40. Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением Ом и индуктивностью 0,50 Гн. Постройте график зависимости силы тока (в относительных единицах ) от времени.

( с)