Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось , т. е. направленная прямая.
Проекцией точки М на ось называется основание М перпендикуляра ММ , опущенного из точки на ось.
Если точка М и ось находятся в трехмерном пространстве, то точка М есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси .
Если точка М лежит на оси , то проекция точки М на ось совпадает с самой точкой М.
Пусть произвольный вектор ( ). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Обозначим соответствующие проекции:
Проекцией вектора на ось называется число:
, если и сонаправлены,
, если и противоположно направлены,
, если , или .
Свойства проекций:
Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла, составленного вектором с осью
На рисунке положительна, т.к.0< < .
отрицательна, т.к. .
1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
3. При умножении вектора на число, его проекция также умножается на это число.
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме:
Пусть заданы два вектора: и , тогда:
1.
2.
3.
Условие коллинеарности векторов: - т.е. проекции коллинеарных векторов пропорциональны.
Док-во:Так как условие параллельности векторов можно записать в виде: , откуда , таким образом, условие коллинеарности в координатном виде: