Z–преобразование

Z–преобразование вытекает из дискретного преобразования Лапласа путем введения новой переменной .

Z–преобразование есть изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами

, .

Способы перехода от непрерывных моделей к дискретным:

1. Применение Z – преобразования к решетчатой импульсной переходной функции со следующей цепочкой переходов (точный способ):

2. Замена производных дифференциального уравнения, описывающего объект, приближенными разностями:

и т. д.;

Данный способ дает приемлемую точность только при малых T.

3. Приближенный способ, предложенный А.Тастеным и называемый билинейным преобразованием, состоит в замене оператора p в передаточной функции соотношением

т.е.

Если для данной решетчатой функции f[n] существует такое положительное число R, что при |z|>R ряд (5)

сходится, то r=1/R называют радиусом сходимости.

Функция внутри круга сходимости (т.е. круга в плоскости z с центром в начале координат и радиусом равным r) будет аналитической функцией, а ряд (5) будет рядом Лорана. Коэффициенты ряда f[nT] выражаются через следующим образом:

Формулы преобразования могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде

F(z)=Z{f(t)}, t=nT, n=0,1,2,… .

В рассматриваемом пространстве введена единичная импульсная решетчатая функция

Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как d - функция (функция Дирака) в непрерывных системах.

Основные свойства и теоремы Z-преобразования

1. Свойство линейности.

Изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений.

2. Теорема запаздывания.

Рассмотрим решетчатую функцию f[n-m], сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Если обозначить n-m=r, то

Z{f[n-m]}= = = .

Если исходная решетчатая функция f[n] равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z{f[n-m]}= .

Сдвиг по временной области.

Если имеет z-преобразование , то

где n – положительное целое число.

Доказательство.

По определению ,

что может быть записано как

Предполагая, что равно нулю при t < 0, получим последнее выражение в виде

Для доказательства второго равенства запишем:

3. Изображение разностей.

Для первой обратной разности

Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равно нулю, то .

Для k-й обратной разности при f[n]º0 для n<0

Определение обратной разности и неполной суммы (или прямой разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору p=c+jω в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (z-1)z^-1, а во втором случае – оператор (z-1). В случае перехода к пределу при T®0 обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывной функции.

4. Теорема о конечном значении решетчатой функции.

«Если функция f(t) имеет z – преобразование F(z) и если функция не имеет полюсов на окружности единичного радиуса |z|=1 и вне её на z – плоскости, то при исследовании систем управления, в которых используются обратные разности, справедливо равенство:

».

Доказательство.

Рассмотрим два ряда с конечным числом членов:

полагая, что f(t)=0 при t<0 и, следовательно, f(-T) равно нулю, запишем выражение второго

ряда

Сравнивая эти выражения, видим, что второй ряд может быть записан как

Определим в пределе при разность между выражениями:

В последнем выражении возьмём предел при , тогда

Меняя порядок перехода к пределу в последнем выражении и учитывая, что

получим

что и является доказательством теоремы о конечном значении.

Пример. Конечное значение единичной функции определяется следующим образом:

5. Теорема о начальном значении решетчатой функции.

«Если функция f(t) имеет z – преобразование F(z) и если существует предел то

».

Доказательство.

По определению F(z) можно представить в виде

Возьмём предел от каждой части последнего выражения и, учитывая, что z стремится к бесконечности, получим

Пример. .

6. Разложение в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z).

Разложив любым способом изображение F(z) в ряд Лорана:

, и, сравнивая два ряда между собой, можно установить, что

, , ,…, и т.д.

7. Решение разностных уравнений.

Более удобны для решения разностные уравнения вида

с начальными условиями , .

Изображение решетчатой функции y[n-m], запаздывающей на m тактов, будет .

Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (m-1), (m-2),…, 1 тактов.

В случае нулевых начальных условий .

Если предположить, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю при n < 0 и, кроме того, функция f[n] в правой части прикладывается в момент времени n=0, то переход к изображениям дает