Численное решение дифференциальных уравнений

 

Цель работы. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений.

Задание. 1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001 . Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы (табл.8).

2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

Варианты уравнений. Варианты уравнений и методов их решения приведены в табл.9.

 

Таблица 8

	Решения уравнения, у(x)
	аналит.	Численное
х		метод 1	метод 2
		h=0.01	h=0.001	h=0.01	h=0.001

 

Таблица 9

Вар.	Вид уравнения	Метод	Вар.	Вид уравнения	Метод
	у'=(xy2+x)/(y-x2y)	1,4		у'=cos(t)-y	3,5
	у'=(1-2x)/y2	2,4		у'=exp(bx)-ay	1,4
	у'=(1-x2)/xy	3,4		у'=-2y/(y2-6x)	2,4
	у'=(y2-y)/x	1,5		у'=1/(2x-y2)	3,4
	у'=(1+y)/(tg(x)	2,5		у'=sec(x)- y tg(x)	1,5
	у'=exp(x)-1	3,5		у'=(exp(x)-y)/x	2,5
	у'=y ln(y)/sin(x)	1,4		у'=1+y/(x(x+1))	3,5
	у'=(1+y2)/(1+x2)	2,4		у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2))	1,4
	у'=4x-2y	3,4		у'=cos(x-y)	2,4
	у'=x exp(-x2)-2xy	1,5		у'=3x-2y+5	3,4
	у'=2x-y	2,5		у'=sin(x)-y	1,5
	у'=exp(-x)-2y	3,5		у'=exp(x)-y	2,5
	у'=exp(-x)-2x	1,4		у'=exp(2x)-1	3,5

 

Примечание. Значение параметров a,b и начальные условия yx=xo=yo выбрать cамостоятельно.

Математическое описание. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y). Расчетные зависимости для одного шага интегрирования имеют следующий вид.

1.Метод Эйлера.

уi+1=уi+hf(xi,yi),

xi+1=xi+h.

2.Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

уi+1=уi+hf(xi+h/2,yi+hf(xi,yi)/2),

xi+1=xi+h.

3.Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1=уi+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

xi+1=xi+h.

4.Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2,yi+k1/2),

k3=hf(xi+h,yi+2k2-k1),

xi+1=xi+h.

5.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2,yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2,yi+k2/2),

k4=hf(xi+h,yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1,уi - значения искомой функции в точках xi+1,xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0 .

Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.

2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

3. Результаты расчета, пять графиков зависимости y(x) и выводы по работе .

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Краткие сведения по языку программировании

МATLAB (матричная лаборатория)

-вычислительная среда для специалистов, занятых инженерными и научными исследованиями.

Первая версия программы появилась в конце 70-х годов.

Позднее появилось много приложений, например,:

• Simuling
• Simbolic Mathematics Toolbox
• Neural Networks
• Fuzzy logic

Ситема МATLAB – это одновременно и операционная среда и язык программирования

Команды операционной среды совпадают с командами языка программирования.