Утверждение о том, что для совершения работы в циклической машине необходимо участие двух тел с различной температурой, называется принципом Карно.
Отношение механической работы к общему количеству полученного рабочим телом тепла называется коэффициентом полезного действия тепловой машины:
(128)
Пусть система из состояния 1 в состояние 2 переходит по траектории 1 – b –2, а обратный переход совершает по траектории 2 – b –1 (рис. 40б). Тогда мы имеем противоположный эффект: сначала рабочее тело получает от холодильника некоторое количества тепла Q2 и совершает работу A2, а затем над рабочим телом совершается работа A1 и нагревателю передается тепло Q1. Поскольку A2 < A1, то за счет совершенной внешними силами работы тепло Q2 – Q1 передается от холодильника к нагревателю. Машина, работающая по такому принципу, называется холодильной машиной. С ее помощью за счет внешней механической работы тепло отнимается от более холодного тела и передается телу с более высокой температурой.
Цикл, изображенный на рис. 40а называется прямым циклом, цикл, изображенный на рис. 40б называется обратным циклом. Установка, работающая по прямому циклу, служит для превращения теплоты в механическую работу, т. е. является тепловым двигателем, машина, действующая по обратному циклу, используется для передачи тепла от менее нагретого тела к более нагретому, т. е. является холодильной машиной.
При построении любой машины важно максимально повысить ее КПД, т.е. сделать ее работу наиболее эффективной. Принцип работы тепловой машины с максимальным КПД впервые описал французский ученый и инженер Сади Карно в своём сочинении «О движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» в 1824 году. Он построил цикл, состоящий из обратимых процессов и доказал, что машина, работающая по такому циклу, будет иметь максимальный КПД из всех возможных.
Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 41). Пусть изначально система находится в состоянии 1 и имеет температуру T1, равную температуре нагревателя. Пусть система переходит в состояние 2. Поскольку объем увеличивается, то при таком переходе совершается механическая работа A12. При этом система находится в контакте с нагревателем и получает от него теплоту Q1. Чтобы процесс был необратимым, необходимо поддерживать температуру рабочего тела равной температуре нагревателя (чтобы не было необратимого процесса теплопередачи). Следовательно, кривая 1-2 представляет собой изотерму, а процесс должен быть квазистатическим, т. е. быть настолько медленным, чтобы разница температур между нагревателем и рабочим телом была бесконечно мала. Теплоемкость нагревателя предполагается равной бесконечности, При этом передача тепла рабочему телу не изменяет температуры нагревателя, т. е. теплоемкость нагревателя предполагается бесконечно большой.
В точке 2 мы изолируем систему, и дальше рабочее тело расширяется без теплообмена с окружающей средой, т.е. адиабатически (кривая 2-3). При этом совершается работа, и температура рабочего тела понижается. Адиабатический процесс идет до тех пор, пока температура рабочего тела не сравняется с температурой холодильника T2.
При адиабатическом расширении рабочее тело совершает работу A2. Теплообмена с окружающей средой при этом нет.
Рис. 41. Цикл Карно
Теперь необходимо вернуть рабочее тело в исходное состояние, т. е. восстановить первоначальные давление и температуру. Это значит, что рабочее тело должно быть сжато и приведено снова в контакт с нагревателем. Этот контакт по-прежнему не следует осуществлять, пока температура рабочего тела ниже температуры нагревателя. Поэтому возвращение к первоначальному состоянию тоже проводится в два этапа. Сначала рабочее тело сжимают, не прерывая его контакта с холодильником, т. е. изотермически (кривая 3-4). При этом над рабочим телом совершается работа A3, и избыток тепла Q2 передается холодильнику. Теплоемкость холодильника предполагается бесконечно большой, так что передача тепла не изменяет его температуру.
Точка 4 выбирается таким образом, чтобы от нее можно было адиабатически достичь точки 1. При достижении токи 4 рабочее тело изолируется от холодильника и сжимается адиабатически, так чтобы оно нагревалось до температуры нагревателя (кривая 4-1). При адиабатическом сжатии тело нагревается за счет внешней работы A4, которую совершают внешние силы. После того как в процессе адиабатического сжатия температура рабочего тела станет равной температуре нагревателя, их приводят в контакт, и цикл на этом завершается: рабочее тело находится в исходном состоянии, и процесс может быть начат снова.
Описанный круговой процесс состоит, таким образом, из двух изотермических и двух адиабатических расширений и сжатий. При расширениях рабочее тело совершает полезную работу; сжатия, наоборот, происходят за счет работы, совершаемой над рабочим телом внешними силами.
На всех стадиях рассмотренного кругового процесса нигде не допускается соприкосновение двух тел с различными температурами и, таким образом, избегается возникновение необратимого процесса теплопроводности. Весь цикл проводится, следовательно, обратимым путем (для полной обратимости расширения и сжатия нужно вести очень медленно, в принципе бесконечно медленно, так чтобы процессы эти были квазистатическими).
В результате кругового процесса Карно некоторое количество тепла оказывается переданным при посредстве рабочего тела от нагревателя к холодильнику. В ходе процесса рабочее тело совершает, кроме того, некоторую работу. В свою очередь над рабочим телом совершают работу внешние силы. Как видно из рисунка, работа, совершенная рабочим телом, больше работы, которую совершают внешние силы.
Вычислим полезную работу, совершенную в цикле Карно и коэффициент полезного действия.
Поскольку в результате циклического процесса внутренняя энергия системы не изменилась, работа совершенная работа равна A = A1 + A2 + A3 + A4 = Q1 – Q2. Положительная работа, совершенная газом при изотермическом расширении, равна:
(129)
Эта работа равна полученному от нагревателя теплу: A1 = Q1.
Работа при адиабатическом расширении равна (122):
При изотермическом сжатии над рабочим телом совершается работа
.
Эта работа равна теплу, переданному рабочим телом холодильнику: A3 = Q2.
Наконец, работа при адиабатическом сжатии равна
Поскольку точки 1 и 4 лежат на одной адиабате, для них выполняется условие
T1V1γ-1 = T2V4γ-1. (130)
Аналогично для точек 2 и 3 можно написать
T1V2γ-1 = T2V3γ-1. (131)
Разделив (131) на (130), получаем
. (132)
Работа, выполненная за цикл, равна
Коэффициент полезного действия машины Карно равен:
. (133)
Рассмотренный нами цикл Карно был на всех своих стадиях проведен так, чтобы нигде не было соприкосновения тел с различными температурами, что исключает возможность необратимых процессов теплопроводности. Изменения объема рабочего тела также проводились обратимым путем, что обеспечивает максимум совершаемой при этом работы. Это значит, что были обеспечены наилучшие условия для использования тепловой энергии. Поэтому более высокий к. п. д., чем представленный формулой (133), получить принципиально нельзя.
Тепловая машина, работающая при данных значениях температур нагревателя и холодильника, не может иметь к. п. д. больший, чем машина, работающая по обратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника.(Это утверждение иногда называют первой теоремой Карно.)
Из формулы (133) видно,что коэффициент полезного действия цикла Карно не зависит от рода рабочего тела, а только от температур нагревателя и холодильника. (Это утверждение составляет содержание второй теоремы Карно.)