Занятие 23. Регрессионный метод анализа
По характеру расположения точек в корреляционном поле сделаем вывод о форме связи, т.е. каким уравнением можно выразить тенденцию развития изучаемого процесса. Соединив точки прямыми линиями, получим эмпирическую линию связи, показывающую, что взаимосвязи систематически нарушаются влиянием прочих факторов.
Необходимо определить теоретическую линию связи, которая характеризовала бы форму зависимости признаков. Применяя способ наименьших квадратов, подбираем такие значения параметров, при которых сумма отклонений значений признака от искомой линии будет минимальной. Заменяем ломаную кривую эмпирических значений признака теоретической прямой или кривой. Смысл замены ломаной линии эмпирических значений признаков теоретической линией заключается в выравнивании эмпирической ломаной, которое позволяет отыскать в ее движении некоторую регулярность, закономерность. Такое выравнивание устраняет незакономерные, случайные колебания изучаемого признака, создающие изломы кривой, вскрывает заложенную в движении ряда общую тенденцию и представляет значения показателя как его функцию.
Самым сложным в практическом применении теории корреляции являются определение характера связи между признаками и правильный выбор уравнения связи. Сложность происходит от того, что нужно находить форму функциональной зависимости, в то время как в жизни зависимость лишь в той или иной форме приближается к функциональной. Но если зависимость довольно существенна и близко приближается к функциональной, именно тогда теоретическая линия связи и ее параметры приобретают практическое значение.
Как известно, процесс моделирования представляет собой процесс формализации, т.е. выражения сложных взаимосвязанных экономических процессов и явлений средствами математических формул и символов. Учитывая формальный характер математических методов, выявили приоритет качественного анализа перед количественными методами. При таком подходе, когда сочетается качественный анализ с применением математических методов, обеспечиваются точность полученных результатов и их практическая значимость.
Зависимости между признаками выражаются следующими уравнениями:
прямой 
;
гиперболы 
;
логарифмической 
;
параболы 2–го порядка 
и др.
Определим параметры одного из выбранных уравнений, соответствующих изучаемому экономическому процессу. Нахождение параметров теоретической линии связи равносильно выравниванию эмпирических данных. Наиболее распространенным в статистике способом выравнивания является способ наименьших квадратов как для прямолинейной зависимости, так и в случаях криволинейной. Суть его состоит в том, что выровненная линия должна удовлетворять следующему требованию: сумма квадратов отклонений ее точек от точек эмпирической кривой должна быть минимальной. Требование наименьших квадратов приводит к решению систем нормальных уравнений для нахождения параметров а0 и а1 .
Полученное уравнение регрессии представляет собой пример статистического моделирования реального экономического процесса, выраженного средствами математических формул.
В тех случаях, когда установлено, что связь между признаками заметная, высокая или очень высокая, теоретические уравнения связи приобретают практическое значение и могут быть использованы в плановых и нормативных расчетах. Таким образом, основной смысл регрессионного анализа состоит в том, чтобы по полученному уравнению регрессии найти теоретические уровни ух , которые могут служить планируемыми прогнозируемыми показателями на предстоящий период.
Приемлемость и ценность полученной модели определяются тем, с какой степенью достоверности или точности она применяется для аппроксимирования экономического процесса и в действительности отражает этот процесс.
Если специальные критерии значимости отвечают необходимым требованиям, то уравнение регрессии будет являться экономико-математической моделью и пригодно к практическому применению.
5. Практика применения корреляционно–регрессионного метода анализа
Экономические процессы характеризуются большой сложностью и многообразием и представляют собой результат действия многих факторов. Поэтому, чтобы отразить это влияние на результативный признак, необходимо производить расчеты (исследование) на основе методов множественной корреляции. Только в этом случае получим уравнение регрессии, которое и будет представлять собой экономико-математическую модель при соблюдении условия значимости специальных критериев. Решение уравнения множественной регрессии, нахождение коэффициента корреляции и других показателей связано с очень громоздкими расчетами. В основном такие расчеты производятся на ЭВМ с использованием готовых программ. Смысл корреляционно–регрессионного анализа не теряется, если для упрощения расчетов будем исходить из двухфакторного комплекса, т. е. в расчетах будут участвовать два признака, на результативный признак будет действовать один факторный признак.
ПРИМЕР:
Имеются следующие данные об уровнях издержек обращения и выработке на одного работника, т.е. производительность труда по магазинам одного объединения за квартал.
| № магазина п/п | Средняя выработка на одного работника, тыс.руб. х | Уровень издержек обращения, % к товарообороту у |
| 40,4 | 4,54 | |
| 43,1 | 4,42 | |
| 45,2 | 4,19 | |
| 47,0 | 4,23 | |
| 51,4 | 3,88 | |
| 51,7 | 4,00 | |
| 53,9 | 4,04 | |
| 55,2 | 4,01 |
1. Для подтверждения положений логического (качественного) анализа о наличии прямой зависимости между уровнем издержек обращения и средней выработкой нанесите исходные данные на график корреляционного поля и сделайте выводы о форме связи.
Решение: Для получения модели, соответствующей экономическому явлению, в расчеты необходимо брать не менее тридцати магазинов, чтобы в массе наблюдений погасить случайные явления и выявить общую закономерность. Для упрощения расчетов остановимся на результатах только восьми магазинов.
Построим график.
На графике видно, что связь является линейной и обратной. Точки расположены по направлению из верхнего левого угла в правый нижний.
На графике представлены эмпирические данные зависимости уровня издержек обращения от средней выработки и теоретическая линия регрессии.
Вывод: На основе качественного анализа видим, что между выработкой одного продавца и уровнем издержек обращения существует обратная связь: с увеличением выработки снижается уровень издержек обращения.
2. Для определения тесноты связи между изучаемыми признаками вычислите линейный коэффициент корреляции.
Решение: Для вычисления линейного коэффициента корреляции произведем необходимые расчеты. Так как для расчета r и построения уравнения регрессии (связи) требуются одни и те же показатели, рассчитаем таблицу (графы 4-6).
| Таблица для нахождения линейного коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии | ||||||
| № п/п | Средняя выработка одного работника, тыс.руб.; х | Уровень издержек обращения, % к товарообороту; у | ху | х2 | у2 | ух |
| 40,4 | 4,54 | 183,4 | 1632,16 | 20,61 | 4,47 | |
| 43,1 | 4,42 | 190,5 | 1857,61 | 19,54 | 4,37 | |
| 45,2 | 4,19 | 189,4 | 2043,04 | 17,56 | 4,29 | |
| 47,0 | 4,23 | 198,2 | 2209,00 | 17,89 | 4,22 | |
| 51,4 | 3,88 | 199,4 | 2641,96 | 15,05 | 4,05 | |
| 51,7 | 4,00 | 206,8 | 2672,89 | 16,0 | 4,03 | |
| 53,9 | 4,04 | 217,8 | 2905,21 | 16,32 | 3,95 | |
| 55,2 | 4,01 | 221,4 | 3047,04 | 16,08 | 3,91 | |
| Итого | 387,9 | 33,31 | 1607,5 | 19008,91 | 139,05 | 33,28 |
Линейный коэффициент корреляции для парной зависимости исчисляется по следующей формуле:
.
Подставим значения в формулу и получим:
Вывод: Абсолютная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о высокой тесноте связи между изучаемыми признаками, а знак "минус" при коэффициенте – об обратной связи.
3. В целях синтезирования модели зависимости уровня издержек обращения от средней выработки определите уравнение прямолинейной связи и нанесите полученную при этом теоретическую линию регрессии на график корреляционного поля.
Уравнение прямой линии имеет вид:
;
где ух – индивидуальные значения результативного признака;
х – индивидуальные значения факторного признака;
а0, а1 – параметры уравнения регрессии.
Способом наименьших квадратов решим систему нормальных уравнений, находя параметры а0 и а1:
Подставляем значения из таблицы:
Делим каждое уравнение на коэффициенты при а0 и получаем:
Вычитаем из второго уравнения первое и получаем:
0,51*а1 = –0,02.
Откуда а1 = –0,039.
Подставляем значение а1 в первое уравнение и получаем:
а0+48,49*(–0,039)=4,16;
а0 – 1,89=4,16;
а0 =4,16+1,89;
а0=6,05.
Вывод: Уравнение корреляционной связи принимает вид: ух= 6,05–0,039х.
Свободный член а0 характеризует уровень издержек обращения, не зависящий от выработки. Коэффициент регрессии а1 уточняет связь между у и х. Он показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при измерении факторного признака на единицу в пределах установленной вариации. При увеличении выработки на 1 млн. руб. уровень издержек обращения снижается на 0,039% к обороту.
4. Используя полученную информационную модель, определите возможное значение уровня издержек обращения для открываемого в городе нового магазина с выработкой на одного работника 60 тыс руб. Уровень издержек при этом составит 3,71% к товарообороту за квартал при прочих равных условиях (ух = 6,05 – 0,039 * 60 = 371 ).
Так как уравнение регрессии составлено на основе фактической информации по данным о восьми магазинах объединения за квартал, то можно исчислить по нему теоретические уровни, т.е. в уравнение ух = 6,05 – 0,039*х вместо значений х будем подставлять фактические данные о выработке каждого из восьми магазинов:
№1 ух =6,05–0,039*40,4=4,47;
№2 ух = 6,05–0,039*43,1=4,37 и т.д. (см. таблицу, графа 7).
Полученные значения наносим на график корреляционного поля – это будет прямая линия.
Основной смысл модели – ее практическая значимость и применение в целях планирования и краткосрочного прогнозирования экономических показателей. Поэтому если в данное уравнение вместо фактических данных о выработке подставить прогнозируемые планируемые показатели, получим планируемые, прогнозируемые показатели уровней издержек обращения, т.е. будем планировать уровень издержек обращения в зависимости от выработки. Например, если для первого магазина выработка в планируемом последующем квартале возрастет и составит 50 тыс. руб., то уровень издержек обращения ух =6,05–0,039*50=4,1%.
Для второго магазина выработка снизится и составит 40 тыс. руб., тогда уровень издержек обращения в планируемом последующем квартале ух =6,05–0,039*40=4,49%.
Аналогично расчеты можно произвести и для других магазинов. Необходимо учесть следующее условие: на формирование любого экономического процесса, каким в данном примере является уровень издержек обращения, оказывает влияние не только один фактор (выработка на одного работника, т.е. производительность труда), а целый комплекс экономических, организационно–технических и других факторов. Следовательно, чтобы выразить эту связь математически, необходимо применить уравнение множественной регрессии вида:
которое более полно отразит экономический процесс и будет в полной мере являться экономико-математической моделью при условии значимости специальных критериев.
Изучение качественных показателей хозяйственно–финансовой деятельности предприятий и организаций путем моделирования экономических процессов способствует совершенствованию системы прогнозирования и планирования.
! Общие выводы к изученной теме
· Изучение взаимосвязей между экономическими явлениями необходимо для планирования и прогнозирования предстоящей деятельности предприятия или отрасли.
· Для получения объективной информации выявленные связи должны иметь математическую определенность. Это осуществляется с помощью применения аппарата экономико-статистического анализа.
· Важнейшей особенностью экономического исследования является математическое моделирование процессов и явлений. Корреляционно-регрессионный анализ является одним методов моделирования.
? Вопросы для самопроверки