ВАЖНЕЙШИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам

, .

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона,если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по закону Пуассона, находятся по формулам

, .

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m, … с вероятностями .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по геометрическому закону, находятся по формулам

, .

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне этого отрезка равна нулю:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по равномерному закону, находятся по формулам

, .

Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по показательному закону, находятся по формулам

, .

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону, находятся по формулам

, .

 

Задачи

11.1.Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.

11.2.Проводятся 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А постоянна и равна р. Пусть – число появлений события А в этом опыте. Найти D( ), если известно, что М( )= 2,1.

11.3.Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80попаданий в цель?

11.4.Проверяется партия из 10000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0_;002. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии.

11.5.Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных символов.

11.6.В магазин отправлено 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. Найти среднее число разбитых бутылок.

11.7.Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа произведенных выстрелов, считая, что:

а) стрелять можно неограниченное число раз;

б) в наличии есть всего 5 патронов.

11.8.Случайная величина распределена равномерно на отрезке .Найти вероятность попадания с.в. на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка .

11.9.Задана дифференциальная функция распределения н.с.в. :

Найти:

11.10.Случайная величина , распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики М( ) = 2, D( ) = 3. Найти F(x).

11.11.Время Т выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью

Найти: функцию распределения ; математическое ожидание и дисперсию случайной величины Т; вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 час. работы.

11.12.С.в. распределена по показательному закону с параметром . Найти дифференциальную и интегральную функцию распределения, ,а также вероятность попадания значений с.в. в интервал (0,25; 5).

11.13.Определить закон распределения случайной величины , если ее плотность вероятности имеет вид:

Найти: параметр .

11.14.Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром = 20 мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

11.15.Пусть распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях с. в. хотя бы в одном из них примет значение в интервале (2; 4).

11.16.Рост взрослых мужчин является случайной величиной , распределенной по нормальному закону с параметрами . Найти: плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.

11.17.Случайная величина распределена по нормальному закону , , . Найти .

11.18.Случайная величина распределена по нормальному закону . Известно, что . Найти ; .

11.19.Случайная величина распределена по нормальному закону . При каком значении