СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

 

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход называют успехом) с одной и той же вероятностью p или произойти противоположное событие (такой исход называют неудачей) с вероятностью . Испытания такого рода называют испытаниями проводимыми по схеме Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, успех наступит ровно m раз вычисляется по формуле Бернулли

.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, находят соответственно по формулам:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом количестве испытаний приводит к громоздким вычислениям. В этих случаях используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Если число испытаний n достаточно велико, вероятность успеха p очень мала, то вероятность приближенно можно найти по формуле Пуассона

, где a=np.

Формулу Пуассона обычно используют, если и .

Если число испытаний n достаточно велико, вероятность успеха p не очень мала, то вероятность приближенно можно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа

,

где , – функция Гаусса.

Если число испытаний велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, успех наступит не менее m₁ и не более m₂ раз, приближенно вычисляется по интегральной формуле Лапласа

,

где , ,

– функция Лапласа.

Таблицы значений функций и приводятся в приложениях I и II учебного пособия [10].

Число m₀ наступления события в независимых испытаниях, прводимых по схеме Бернулли называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях m₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число m₀ определяют из двойного неравенства

,

причем: а) если число – дробное, то существует одно наивероятнейшее число m₀;

б) если число – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: и

 

Задачи

7.1.Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет:

а) два раза; б) не более восьми раз;

в) хотя бы один раз.

7.2.По мишени произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность п попаданий в мишень, где п = 0,1,2,3.

7.3.Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения не менее 80 % правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?

7.4.В ящике находится 70 % стандартных и 30 % нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей не более одной окажется нестандартными.

7.5.В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти:

а) вероятность того, что в течение года придется заменить две лампочки;

б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

7.6.В семье 6 детей. Найти вероятность того, что в данной семье не менее двух мальчиков, но не более четырех. Считать вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5.

7.7.Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

7.8.Корабль выходит из строя, если получит не менее 5 попаданий в надводную часть или 2 попадания в подводную часть. Найти вероятность выхода из строя корабля при 5 попаданиях, если вероятности попадания в надводную и подводную части попадании в корабль относятся как семь к трем.

7.9.На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5 % всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

7.10.В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что средний процент брака составляет 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было бы равно 60 шт.?

7.11.Вероятность получения отметки цели на экране обзорного радиолокатора при одном обороте антенны равна 1/6. Цель считается обнаруженной, если получены 3 отметки. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена не более чем за 5 оборотов антенны?

7.12.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а)ровно 75 раз; б)более 75 раз.

7.13.Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения равна 0,2. Найти:

а) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказало не менее 4-х элементов;

б) наивероятнейшее число т₀ отказавших элементов;

в) вероятность Р₅(т₀).

7.14.Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,86. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят:

а) 4 раза; б) не менее 4 раз.

7.15.В урне 8 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимаются с возвращением 12 шаров. Найти вероятность того, что белых шаров будет вынуто: а)1; б) не менее 10 белых шаров?

7.16.Отмечено, что в городе D в среднем 10 % заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:

а) ни одна пара не разведется;

б) разведутся две пары?

7.17.Вероятность выхода на линию каждого из 18 автобусов равна 0,9. Какова вероятность нормальной работы автобазы в течение дня, если для этого необходимо иметь на линии не менее 15 автобусов?

7.18.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а)ровно 75 раз; б) более 75 раз.

7.19.Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».

7.20.Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число изделий, поврежденных при транспорти ровке, составляет в среднем 0,05 %. Найти вероятность что на базу поступит:

а) не более трех поврежденных изделий;

б) хотя бы два поврежденных.

7.21.Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того, что при наборе будет допущено:

а) 6 ошибок; б) хотя бы одна ошибка.

7.22.Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:

а) четверо родилось 23 февраля;

б) двое родилось 1 марта;

в) никто не родился 22 июня? (Считать, что в году 365 дней.)

7.23.Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонением от стандарта), постоянна и равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных?

7.24.Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов при испытании 80, или отказ 15 при испытании 120?

7.25.Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших.

7.26.В городе N из каждых 100 семей 85 имеют компьютеры. Какова вероятность того, что из 400 семей 340 имеют компьютеры?

7.27.Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230 раз.

7.28.Садоводческий кооператив застраховал на год свои дачные дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внес по 150 рублей. Вероятность пожара (в одном доме) в течение года равна 0,005, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 12000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компания понесет убыток?

7.29.Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее 5 бракованных книг.

7.30.Стрелок сделал 80 выстрелов; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что:

а) стрелок попадет 56 раз;

б) число попаданий будет заключено между 50 и 60.

7.31.Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95 % окажется доброкачественных.

7.32.Вероятность рождения девочки равна 0,485. Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей девочек:

а) будет 300;

б) будет больше, чем мальчиков.

7.33.Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 70 % студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:

а) 150 студентов; б) не менее 100 студентов;

в) не более 150 студентов?