ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

 

Обобщением понятия классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов является понятие геометрической вероятности.

Пусть в результате опыта в некоторой области наудачупоявляется точка. Требуется определить вероятность события А, состоящего в том, что эта точка попадет в область , принадлежащую области . Эта вероятность вычисляется по формуле

,

где и – меры области и соответственно.

Под мерой будем понимать длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерных пространствах соответственно.

 

Задачи

3.1.На пол, покрытый кафельной плиткой со стороной a=6 см, случайно падает монета радиуса r=2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.

3.2.Задача о встрече. Два парохода должны подойти к одному причалу в течении суток. Время прихода пароходов независимо друг от друга. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки одного парохода один час, а другого – два часа.

3.3.Дано линейное уравнение ах=b. Если а выбирать из промежутка [0;8], а b из промежутка [0;10], то какова вероятность того, что корень уравнения будет больше 1?

3.4.Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность, что корабль благополучно пройдет заграждение?

3.5.В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.

3.6.Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

3.7.Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше 1/4?

3.8.Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

3.9.Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным образом места разлома. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.

3.10.Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 мин, а пешеход за 15 мин. Интервал движения автобуса 25 мин. В некоторый момент времени пешеход отправляется пешком из пункта А в пункт В. Что вероятнее: догонит его в пути очередной автобус или нет?

3.11.Даны две концентрические окружности радиусов R₁ и R₂ (R₁ > R₂). Найти вероятность того, что отрезок, соединяющий две точки на большей окружности не пересечет меньшей окружности.

3.12.В круге радиуса r проведены хорды, параллельные заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды меньше радиуса окружности, если равновозможны любые положения точки пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?