Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебаний мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим колебания материальной точки в вязкой среде. В этом случае, кроме квазиупругой силы, на точку будет действовать сила сопротивления среды. Если других сил нет, то такие колебания называются свободными (или собственными) колебаниями. При наличии внешних сил колебания называются вынужденными.

В случае малых скоростей сила сопротивления среды пропорциональна линейной скорости:

. (151)

Коэффициент пропорциональности r называется коэффициентом сопротивления среды. Знак «–» обусловлен тем, что сила сопротивления среды направлена противоположно скорости.

С учетом сопротивления среды уравнение движение точки будет выглядеть следующим образом:

.

Введем обозначения:

, (152)

. (153)

Частота ω₀ является частотой, при которой совершались бы свободные колебания при отсутствии сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой колебаний.

Уравнение движение точки примет следующий вид:

. (154)

Решением этого уравнения является функция

x = A₀e^–βtcos(ωt+φ₀). (155)

Здесь A₀ – максимальное отклонение точки в начале движения (начальная амплитуда), e – основание натуральных логарифмов. Частота ω определяется выражением:

ω² = ω₀² – β². (156)

Рис. 52.

Затухающие колебания

 

График функции (155) дан на рис. 52. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (155) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону

A(t) = A₀e^–βt

Верхняя из пунктирных кривых на рис. 43дает график функции A(t), причем величина A₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х₀ зависит, кроме A₀, также от начальной фазы α: x₀ =A₀cosα (рис. 52).

При наличии сопротивления среды колебания уже не являются гармоническими. Амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону (амплитуда модулируется экспонентой). Скорость затухания определяется величиной β, которая называется коэффициентом затухания. За время τ = 1/β амплитуда колебеменем релаксации системы.

Согласно формуле (156) период затухающих колебаний определяется выражением

. (157)

При незначительном сопротивлении среды (β² << ω₀²) период колебаний мало отличается от периода собственных колебаний. С увеличением сопротивления среды период колебаний увеличивается.

Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

. (158)

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

. (159)

Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив β через λ и T в соответствии с (159), закон убывания амплитуды можно записать в виде

.

За время τ (время релаксации) успевает совершить N_e = τ/Т колебаний. Амплитуда за это время уменьшится в e раз. Из условия

получается, что

.

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

, (160)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Из формулы (157) следует, что при ω₀² – β² = 0 период колебании обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ дает, что при ω₀² – β² ≤ 0 движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебании. На рис. 53 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Кривая 1 соответствует движению системы из положения, характеризуемой смещением от точки равновесия. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система, находясь в положении равновесия, получает некоторый импульс. Такие явления характерны для переходных процессов в различных технических устройствах.

Рис. 53.

Апериодические процессы