Изменение потенциальной энергии при перемещении тела равно работе консервативных сил поля с обратным знаком.
EP2 – EP1 = ΔEP = – A. (66)
При вычислении потенциальной энергии в поле консервативных сил, выбирают какой-то уровень энергии, принимаемый за нулевой. Например, считается, что тело, находящееся на поверхности Земли, обладает нулевой потенциальной энергией.
Рассмотрим движение тела в поле тяжести по замкнутой траектории, т. е. пусть тело возвращается в ту же точку пространства, из которой началось движение. Тогда в формуле (65) h1 = h2, и A = 0. Это означает, что работа консервативных сил при движении по замкнутой траектории равна нулю. Как было сказано выше, работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела. Если мы вернулись в исходную точку, то потенциальная энергия тела осталась прежней. Согласно (66), работа равна нулю.
При вычислении работы по замкнутому контуру формула (58) записывается следующим образом:
, (67)
Где кружок на значке интеграла означает интегрирование по замкнутому контуру (т. е. путь s замкнут). Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора. Таким образом, циркуляция вектора консервативной силы равна нулю.
Для характеристики поля консервативных сил вводится понятие потенциала (отсюда другое название консервативных сил – потенциальные силы или потенциальные поля). Потенциал гравитационного поля – это потенциальная энергия тела единичной массы, находящейся в данной точке. Потенциал – величина скалярная, является характеристикой поля в данной точке пространства и является функцией координат. Потенциал – энергетическая характеристика поля.
Потенциал обычно обозначается буквой φ. Потенциальная энергия тела массы m равна m*φ. При перемещении тела из одной точки в другую изменение потенциальной энергии равно
ΔEP = m*(φ1 – φ2) = m*Δφ. (68)
Работа силы равна произведению силы на перемещение. Если сила действует вдоль перемещения, то можно записать:
F*Δs = A.
Принимая во внимание (66), получаем:
F*Δs = –ΔEP,
Сила определяется быстротой изменения потенциальной энергии вдоль траектории движения. Быстрота изменения скалярной функции вдоль какого-то направления называется градиентом функции. Градиент – это производная скалярной функции по расстоянию. По определению градиент – это вектор, направленный в сторону увеличения скалярной функции. Обозначается градиент grad или специальным символом (набла). Таким образом, в векторном виде предыдущая формула записывается так:
(69)
Здесь – единичный вектор (орт), направленный вдоль направления движения.