Криволинейное движение
При криволинейном движении у вектора скорости изменяется направление. При этом может меняться и его модуль, т. е. длина. В этом случае вектор ускорения раскладывается на две составляющие: касательную к траектории и перпендикулярную к траектории (рис. 10). Составляющая называется тангенциальным (касательным) ускорением, составляющая –нормальным(центростремительным) ускорением.
Рис. 10.
Ускорение при криволинейном движении
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения линейной скорости, а нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления движения.
Полное ускорение равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений:
(15)
Модуль полного ускорения равен:
.
Рассмотрим равномерное движение точки по окружности. При этом и . Пусть в рассматриваемый момент времени t точка находится в положении 1 (рис. 11). Спустя время Δt точка окажется в положении 2, пройдя путь Δs, равный дуге 1—2. При этом скорость точки v получает приращение Δv, в результате чего вектор скорости, оставаясь неизменным по величине, повернется на угол Δφ, совпадающий по величине с центральным углом, опирающимся на дугу длиной Δs:
(16)
где R—радиус окружности, по которой движется точка. Найдем приращение вектора скорости Для этого перенесем вектор так, чтобы его начало совпадало с началом вектора . Тогда вектор изобразится отрезком, проведенным из конца вектора в конец вектора . Этот отрезок служит основанием равнобедренного треугольника со сторонами и и углом Δφ при вершине. Если угол Δφ невелик (что выполняется для малых Δt), для сторон этого треугольника можно приближенно написать:
.
Подставляя сюда Δφ из (16), получаем выражение для модуля вектора :
.
Разделив обе части уравнения на Δt и сделав предельный переход, получим величину центростремительного ускорения:
. (17)
Здесь величины v и R постоянные, поэтому их можно вынести за знак предела. Предел отношения – это модуль скорости Его также называют линейной скоростью.
Рис. 11.
Радиус кривизны
Радиус окружности R называется радиусом кривизны траектории. Величина, обратная R, называется кривизной траектории:
.
где R — радиус рассматриваемой окружности. Если α есть центральный угол, соответствующий дуге окружности s, то, как известно, между R, α и s имеет место соотношение:
s = Rα. (18)
Понятие радиуса кривизны применимо не только к окружности, но и любой кривой линии. Радиус кривизны (или обратная ему величина – кривизна) характеризует степень изогнутости линии. Чем меньше радиус кривизны (соответственно, чем больше кривизна), тем сильнее изогнута линия. Рассмотрим это понятие подробнее.
Кругом кривизны плоской линии в некоторой точке A называется предельное положение окружности, проходящей через точку А и две другие точки В1 и В2 при их бесконечном приближении к точке А (на рис. 12 кривая проведена сплошной линией, а круг кривизны — пунктирной). Радиус круга кривизны дает радиус кривизны рассматриваемой кривой в точке A, а центр этого круга — центр кривизны кривой для той же точки А.
Проведем в точках B1 и В2 касательные B1D и В2Е к окружности, проходящей через точки В1, А и B2. Нормали к этим касательным B1С и В2С представят собой радиусы R окружности и пересекутся в ее центре С. Введем угол Δα между нормалями В1С и В2С; очевидно, он равен углу между касательными В1D и В2E. Обозначим участок кривой между точками B1 и В2 как Δs. Тогда по формуле (18):
.
Рис. 12.
Круг кривизны плоской кривой линии
Рис. 13.
Определение кривизны плоской кривой в разных точках
На рис. 13 изображены круги кривизны плоской линии в разных точках. В точке A1, где кривая является более пологой, радиус кривизны больше, чем в точке A2, соответственно, кривизна линии в точке A1 будет меньше, чем в точке A2. В точке A3 кривая является еще более пологой, чем в точках A1 и A2, поэтому радиус кривизны в этой точке будет больше, а кривизна меньше. Кроме того, круг кривизны в точке A3 лежит по другую сторону кривой. Поэтому величине кривизны в этой точке приписывают знак, противоположный знаку кривизны в точках A1 и A2: если кривизну в точках A1 и A2 будем считать положительной, то кривизна в точке A3 будет отрицательной.