Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий

Если исходная совокупность является такой, что по значениям признака она делится на l групп, то общая дисперсия складывается из частных дисперсий. В таблице 2.2 представлен анализ такой совокупности.

Таблица 2.2 - Определение исходной совокупности по группам

Значение признака х	Число единиц в j-й группе	Итого
	…	j	…	l
х₁	f₁₁	…	f₁_j	…	f_1l
…	…	…	…	…	…	…
х_i	f_i₁	…	f_ij	…	f_il
…	…	…	…	…	…	…
х_k	f_k₁	…	f_kj	…	f_kl
Итого		…		…

Здесь j – номер группы ( );

х_i – i-е значение признака ( );

f_ij – частота i-го значения признака, число единиц в j-й группе;

m_i – сумма частот i-го значения признака в каждой группе;

n_j – сумма частот всех значений признака в j-й группе;

N – сумма частот всех значений признака во всех группах (объем совокупности).

Сначала вычисляем l частных средних ( ), т.е. среднее значение признака в каждой группе:

. (2.22)

На основе частных средних определяем общую среднюю ( ) по формулам

или . (2.23)

Общая дисперсиясовокупности

. (2.24)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений групповой средней от общей средней:

. (2.25)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, т.е. вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней :

или . (2.26)

Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:

. (2.27)

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки.

Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение, которое известно как правило сложения дисперсий:

. (2.28)

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое – средняя из внутригрупповых дисперсий – измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе – межгрупповая дисперсия – вариацию между средними этих частей.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (η²) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного.

. (2.29)

Эмпирическое корреляционное отношение (η) показывает тесноту связи между исследуемым явлением и группировочным признаком.

. (2.30)

η² и η [0, 1]. (2.31)

Если связь отсутствует, то h = 0. В этом случае межгрупповая дисперсия равна нулю (δ²=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х.

Если связь функциональная, то h = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии ( ). Это означает, что группировочный признак полностью определяет характер изменения изучаемого признака.

Чем больше значение корреляционного отношения приближается к единице, тем полнее (сильнее) корреляционная связь между признаками (таблица 2.3).

Таблица 2.3 - Качественная оценка связи между признаками (шкала Чэддока)

Значение	Характер связи	Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует	0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая	0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая	0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная	η = 1	Функциональная

Пример 2.1.

Определим групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным о производительности труда в двух бригадах:

Изготовлено деталей за час, шт. (производительность труда)	Количество рабочих, имеющих соответствующую производительность труда
в бригаде 1	в бригаде 2
х_i	f_i₁	f_i₂

Промежуточные расчеты занесем в таблицы:

х_i	Бр. 1	Бр. 2	m_i	Промежуточные расчеты для определения средних величин
f_i₁	f_i₂	х_i·f_i₁	х_i·f_i₂	х_i·m_i






Σ	n₁=10	n₂=10	N=20	Σх_i·f_i₁=138	Σх_i·f_i₂=178	Σх_i· m_i =316

х_i	Промежуточные расчеты для определения дисперсий
(х_i – )	(х_i – )	(х_i – )	(х_i– )²·f_i₁	(х_i– )²·f_i₂	(х_i – )²·m_i
	-3,8	-7,8	-5,8	14,44	0,00	33,64
	-1,8	-5,8	-3,8	9,72	0,00	43,32
	0,2	-3,8	-1,8	0,12	14,44	12,96
	2,2	-1,8	0,2	9,68	9,72	0,20
	4,2	0,2	2,2	17,64	0,08	14,52
	6,2	2,2	4,2	0,00	19,36	70,56
Σ	–	–	–	51,60	43,60	175,20

Средняя производительность труда для 1-й бригады:

= 13,8 шт./ч.

Средняя производительность труда для 2-й бригады:

= 17,8 шт./ч.

Средняя производительность труда для 1-й и 2-й бригады:

= 15,8 шт./ч.

Дисперсия 1-й группы (бригады) = 5,16	Дисперсия 2-й группы (бригады) = 4,36
Средняя из групповых дисперсий = 4,76	Межгрупповая дисперсия = 4,0
Общая дисперсия	=8,76
Проверка по правилу сложения дисперсий:	= 4,76 + 4,00 = 8,76

Эмпирический коэффициент детерминации:

= 0,457 = 45,7%.

Отсюда можно сделать вывод, что общая вариация производительности труда на 45,7% обусловлена вариацией между группами.

Эмпирическое корреляционное отношение

= 0,6757.

Значение h = 0,6757 показывает заметную связь по шкале Чэддока (см. таблицу 2.3) между исследуемым явлением (производительностью труда) и группировочным признаком (бригады).