Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ

Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально-фазовых звеньев 1-го порядка, имеет вид в реальных системах n£(m-n).

 

Отобразим W(р) в область преобразований Фурье; преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме и расположим в порядке убывания величины Тi:

 

Тогда

 

 

 

Алгоритм построения ЛАЧХ:

1. На оси w нанесите точки wi=1/Ti. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии.

2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии при отсутствии нулевых полюсов и нулей в передаточной функции или линию с наклоном -20дБ/дек через точку при одном нулевом полюсе, или линию с наклоном -40 дБ/дек через точку при двух нулевых полюсах, или линию с наклоном +20 дБ/дек через точку при одном корне числителя, равном нулю, или линию с наклоном +40 дБ/дек через точку при двух нулях, равных нулю, и т.д.

3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном -20*u дБ/дек (u – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20*u дБ/дек для дифференцирующих звеньев первого порядка.

4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20*u дБ/дек (+20*u дБ/дек) на следующей вертикальной линии до полного построения L(w).

Высокочастотные асимптоты ЛАЧХ (справа от наибольшей сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.

 

Примечания:

1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи wi=1/Ti, вдали с асимптотами : левой 0 дБ/дек , правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка.

2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же.

3. ЛФЧХ строятся по точкам, рассчитанным аналитически.

 

 

Пример

 

Пусть задана передаточная функция объекта

.

Требуется построить асимптотическую ЛАЧХ объекта.

 

1. Выделение элементарных звеньев.

Вынесем множитель из каждой скобки так, чтобы свободный член в этой скобке был равен 1:

 

.

Корни квадратного трёхчлена в знаменателе комплексно-сопряжённые, поэтому можно представить заданную передаточную функцию в виде произведения передаточного коэффициента и четырёх передаточных функций элементарных звеньев:

,

 

,
где .

Звенья с передаточными функциями и - идеальные звенья с введением производной, второе из них – неминимально - фазовое. Звено с передаточной функцией - апериодическое звено, а звено с - колебательное, поскольку .

 

2. Определение сопрягающих частот.

Сопрягающие частоты – это точки излома ЛАЧХ. Они определяются как . Таким образом,

рад/с, рад/с,

рад/с, рад/с.

Поскольку при построении ЛАЧХ на оси абсцисс откладывается lgω, вычислим десятичные логарифмы этих частот:

 

, ,

, .

 

3. Построение ЛАЧХ.

Отметим найденные точки излома ЛАЧХ на оси абсцисс:

 

Поскольку интегрирующие и дифференцирующие звенья в системе отсутствуют, на низких частотах (примерно до первой сопрягающей частоты ) система имеет постоянное усиление, равное k=10. Учитывая, что амплитудная характеристика откладывается в логарифмическом масштабе (в децибеллах) получаем

20lgk=20lg10=20

и можно сразу нарисовать начальный участок ЛАЧХ:

 

На частоте вступает в действие апериодическое звено, которое даёт наклон -20 дБ/дек, в интервале от до график спускается вниз на

дБ, поэтому ордината для частоты равна дБ:

 

 

На частоте идеальное звено с введением производной добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен нулю:

На частоте неминимально – фазовое идеальное звено с введением производной ещё добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен +20 дБ/дек. В интервале от до график поднимается на дБ, поэтому ордината для частоты равна 9,6+10,4 20 дБ:

Наконец, на частоте колебательное звено добавляет наклон -40 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен -20 дБ/дек:

 

 

 

Приложение 3

 

Пример рекомендуемой последовательности действий при анализе

устойчивости системы

 

Пусть задана структурная схема (рис. 5) и параметры исследуемой системы.

_
у
r

Рис. 5. Структурная схема исследуемой системы

 

Алгоритм исследования устойчивости замкнутой САУ:

 

· определяем передаточную функцию замкнутой системы

где Wпк(p) – передаточная функция прямого канала системы; Wос(p) – передаточная функция обратной связи;

 

· записываем характеристическое уравнение замкнутой системы:

(Т1р+1)(Т2р+1)(Т3р+1)+k1k2k3=0;

после преобразования этого выражения получим:

Т1Т2Т3р3+(Т1Т2+Т1Т3+Т2Т3)р2+(Т1+Т2+Т3)р+(1+k1k2k3)=0;

обозначим:

а0=T1T2T3;

a1=Т1Т2+Т1Т3+Т2Т3;

а2=Т1+Т2+Т3;

а3=1+k1k2k3;

тогда выражение примет стандартную форму:

а0р3+а1р2+а2р+а3=0;

 

· условия устойчивости замкнутой системы 3-го порядка:

1) а0>0, a1>0, a2>0, a3>0 (условие Рауса);

2) a1a2>a0a3 (условие Гурвица);

если условия устойчивости имеют место, то система устойчива;

 

· система на границе устойчивости, если выполняется равенство в условии Гурвица, отсюда определяется критическая величина передаточного коэффициента разомкнутой системы:

 

;

 

· заключение об устойчивости системы.

 

Приложение 4

 

Методы настройки параметров ПИД – регулятора

 

ПИД – регулятор был изобретён в 1910 году. Долгое время настройка параметров регулятора осуществлялась эвристическим ручным методом, основанным на интуиции и изобретательстве инженеров.

В 1942 году американские учёные J.G. Ziegler и N.B. Nichols (США, г. Рочестер, штат Нью-Йорк) при исследовании систем с ПИД – регуляторами обнаружили две закономерности:

· Оптимальная зона пропорциональности П – регулятора в два раза меньше величины зоны пропорциональности, при которой в САУ начинается автоколебательный процесс;

· Время изодрома Ti и время предварения Td зависят от периода возникающих автоколебаний.

В качестве критерия оптимальности принята величина декремента затухания

D = 0,2-0,3. Декремент затухания D выражается через отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга на половину периода,

.

Зиглер и Никольс предложили два метода настройки ПИД – регулятора: первый основан на параметрах переходной характеристики, второй на частотных характеристиках объекта управления. Точность настройки параметров регулятора и недостатки обоих методов Зиглера – Никольса одинаковы.

 

1. Настройка параметров ПИД – регулятора по временному модифицированному методу Зиглера – Никольса.

 

Пусть известно математическое описание объекта второго порядка в форме передаточной функции

 

.

Требуется найти параметры ПИД - регулятора по параметрам переходной характеристики объекта.

 

Алгоритм расчёта:

 

1. Определяем переходную характеристику объекта и её производную, используя модель объекта в Simulink:

 

2. По максимальному значению производной находим точку перегиба переходной характеристики и проводим через неё касательную к переходной характеристике путём смещения характеристики интегрирующего звена ki/p изменением параметра a с помощью модели в Simulink (рис. 2), где ki = max[dh(t)/dt].

 

3. Определяем численные значения параметров a и L по графику переходной характеристики и касательной к ней в точке перегиба.

 

4. Определяем параметры ПИД – регулятора по формулам таблицы 1 [ ].

 

 

Таблица 1. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по временному методу Зиглера - Никольса

  Расчёт по отклику на скачок
Регулятор k Tи Tд
П 1/a    
ПИ 0,9/a 3L/k  
ПИД 1,2a 2L/k 0,5Lk

 

Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению

.

 

 

5. Строим модель системы с ПИД – регулятором в Simulink и проводим исследование САУ.

 

 

Пример 1

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по параметрам отклика объекта на единичный скачок.

 

1. Составляем модель исследования разомкнутой исходной системы в Simulink (рис. 1).

В состав алгоритмической структуры входит модель объекта, модуль формирования производной переходной характеристики, интегратор с передаточным коэффициентом, равным величине экстремума импульсной переходной характеристики и модуль сдвига переходной характеристики идеального интегрирующего звена так, чтобы она проходила через точку перегиба переходной характеристики объекта.

 

 

Рис. 1. Алгоритмическая структура для исследования разомкнутой исходной системы в Simulink

 

2. По отклику модели определяем базовые расчётные параметры: a = 0,145 - величина смещения переходной характеристики интегрирующего звена в точку перегиба переходной характеристики объекта (точку перегиба переходная характеристика объекта и максимум производная этой характеристики h’max = 3,704 проходят в один и тот же момент tэкстр. = 0,1205 ), L = 0,04- величина отрезка на оси времени, отсекаемого касательной к переходной характеристике в точке перегиба. Графики исследуемой модели приведены на рис.2.

 

3. Составляем скрипт в Matlab для расчёта параметров ПИД – регулятора:

a=0.145;

L=0.04;

k=1.2/a

Ti=2*L/k

Td=0.5*L*k

ki=1/Ti

kd=Td

 

и определяем настройки регулятора:

k = 8.2759, Ti = 0.0097c, Td =0.1655c, ki = 103.4483c-1, kd =0.1655c.

 

 

Рис. 2. Графики исследуемой модели разомкнутой исходной системы: 1 - переходная характеристика объекта, 2 – производная переходной характеристики объекта, 3 - переходная характеристика интегрирующего звена, передаточный коэффициент которого равен максимуму производной переходной характеристики объекта ( kи = 3,704), 4 - смещённая в точку перегиба переходной характеристики объекта переходная характеристика интегрирующего звена

 

 

4. Строим модель для исследования системы в Simulink (рис. 3).

На рис. 3 изображены (сверху – вниз) модели исследуемой системы с настройками регулятора по методу Зиглера – Никольса, системы с ручной настройкой параметров регулятора, объекта и модель формирования касательной в точке перегиба переходной характеристики объекта.

 

Рис. 3. Алгоритмическая структура для исследования скорректированной системы в Simulink

 

 

5. Снимаем переходные характеристики модели, изображенной на рис. 3, где обозначены: 1 – переходная характеристика объекта, 2 – касательная к переходной характеристике объекта в точке перегиба, 3 – переходная характеристика системы при настройке регулятора по методу Зиглера – Никольса, 4 - переходная характеристика системы при ручной настройке регулятора ( k = 15, Ti = 0,013c, Td = 0,525c)

 

 

Рис. 4. Графики переходных характеристик модели, изображенной на рис. 3

 

 

2. Настройка параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера – Никольса.

 

 

Пусть известно математическое описание объекта управления в форме передаточной функции

или .

Требуется найти параметры ПИД - регулятора по частотному методу Зиглера –

Никольса.

 

 

Алгоритм расчёта:

 

1. Определяем по АФХ и ЛЧХ объекта частоту , при которой фазовый сдвиг

объекта равен -180о.

 

2. Определяем передаточный коэффициент объекта на частоте .

 

3. Определяем период колебаний .

 

4. По табл. 2 Зиглера – Никольса определяем параметры ПИД – регулятора,

используя полученные данные и .

 

Таблица 2. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера - Никольса

  Расчёт по частотным параметрам
Регулятор k Tи Tд
П 0,5/    
ПИ 0,4/ 0,8 /k  
ПИД 1,6/ 0,5 /k 0,125 k

 

Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению

.

 

5. Составляем в Matlab модели замкнутых исходной и с ПИД – регулятором систем

для построения переходных характеристик, по которым оцениваем устойчивость и

показатели качества.

 

 

Пример 2

 

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по частотным параметрам объекта управления.

 

1. Составляем модель в форме скрипта Matlab для определения АФХ и ЛЧХ объекта по его передаточной функции.

 

numo=[1];

deno=[10 11 1];

Wo=tf(numo,deno)

[nums,dens]=pade(0.3,2)

Ws=tf(nums,dens)

Wir=Wo*Ws

nyquist(Wir)

%margin(Wir)

 

2. Определяем АФХ объекта и находим параметры =1,87с-1 и =|Real|=0,0265.

 

3. Определяем ЛЧХ объекта и находим параметры =1,84с-1 и =10-31,7/20= 0,026.

Параметры объекта, найденные по ЛЧХ, точнее параметров АФХ, поэтому принимаем их за основу.

 

 

 

4. Составляем скрипт для определения параметров ПИД – регулятора по полученным параметрам ЛЧХ: =1,84с-1 и =10-31,7/20= 0,026. Расчётные формулы параметров ПИД – регулятора приведены в таблице 2 алгоритма расчёта.

 

k180=0.026;

w180=1.84;

T180=2*pi/w180

kn=0.6/k180

Tu=0.5*T180/kn

ku=1/Tu

Td=0.125*T180*kn

kd=Td

 

Расчётные параметры ПИД – регулятора: kn = 23.0769, ku = 13.5159, kd = 9.8503.

 

 

5. Составляем скрипт для определения переходных характеристик исходной и скорректированной замкнутых систем.

 

kp=23.0769;

ki=13.5159;

kd=9.8503;

numo=[1];

deno=[10 11 1];

Wo=tf(numo,deno)

[nums,dens]=pade(0.3,2)

Ws=tf(nums,dens)

numi=[ki];

deni=[1 0];

Wi=tf(numi,deni)

numd=[kd 0];

dend=[1];

Wd=tf(numd,dend)

Wsr=minreal(Wo*Ws/(1+Wo*Ws))

step(Wsr)

%Wsrpid=minreal((kp+Wi+Wd)*Wo*Ws/(1+(kp+Wi+Wd)*Wo*Ws))

%step(Wsrpid)

 

 

6. Определяем переходную характеристику исходной (нескорректированной) системы, произведя «Пуск» скрипта п.5 в Matlab.

 

 

7. Определяем переходную характеристику скорректированной системы, сняв знак % в последних двух строках скрипта и установив % в двух предыдущих строках.

 

 

Показатели качества систем приведены на графиках.

 

3. Настройка параметров ПИД – регулятора по методу CHR (Chien – Hrones – Reswick).

 

Авторы этого метода использовали критерий максимальной скорости нарастания при отсутствии перерегулирования или при наличии не более чем 20% - ного перерегулирования. Такой критерий позволяет получить больший запас устойчивости, чем в методе Зиглера – Никольса.

Метод CHR (Чин – Хронес – Ресвик) даёт две разные системы параметров регулятора. Одна из них получена при наблюдении отклика на изменение уставки, решая задачу качества регулирования, вторая – при наблюдении отклика на внешние возмущения, решая задачу ослабления внешних возмущений.

Если важно и то и другое, то необходимо использовать регуляторы с двумя степенями свободы.

В этом методе объект аппроксимирован моделью первого порядка с задержкой:

 

.

 

Для расчёта параметров регулятора используются параметры переходной характеристики объекта: и .

Параметр определяется из выражения:

, отсюда ,

 

или из графика переходной характеристики объекта.

 

Формулы для расчёта параметров регулятора приведены в таблицах 3 и 4.

 

 

Таблица 3

Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на изменение уставки метода CHR

  Без перерегулирования С 20% - ным перерегулированием
Регулятор
  k Ти Тд k Tи Тд
П 0,3/а     0,7/a    
ПИ 0.35/a 1,2 /k   0,6/a 1,0 /k  
ПИД 0,6/a 10 /k 0,5 k 0,95/a 1,4 /k 0,47 k

 

 

Таблица 4

Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на внешние воздействия метода CHR

  Без перерегулирования С 20% - ным перерегулированием
Регулятор
  k Ти Тд k Tи Тд
П 0,3/а     0,7/a    
ПИ 0.6/a 4 /k   0,7/a 2,3 /k  
ПИД 0,95/a 2,4 /k 0,42 k 1,2/a 2,0 /k 0,42 k

 

 

Пример 3

 

Передаточная функция объекта имеет вид

 

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по отклику на изменение уставки метода CHR.

 

1. Определяем параметр а из выражения:

 

= =0,143.

2. Определяем параметры ПИД – регулятора по формулам таблицы 3

( без перерегулирования ):

 

kp = 0,6/a = 4,196;

Ти = 10 /kp =10*0,4/4,196 = 0,95c; ku = 1/ Ти = 1,0526c-1;

Тд = 0,5 kp = 0,5*0,4*4,196 = 0,839c; kд = Тд = 0,839c.

 

3. Составляем скрипт для определения переходных характеристик исходной и

скорректированной замкнутых систем.

 

kp=4.196;

ki=1.0526;

kd=0.839;

numo=[1];

deno=[2.8 1];

Wo=tf(numo,deno)

[nums,dens]=pade(0.4,2)

Ws=tf(nums,dens)

numi=[ki];

deni=[1 0];

Wi=tf(numi,deni)

numd=[kd 0];

dend=[1];

Wd=tf(numd,dend)

Wsr=minreal(Wo*Ws/(1+Wo*Ws))

step(Wsr)

%Wsrpid=minreal((kp+Wi+Wd)*Wo*Ws/(1+(kp+Wi+Wd)*Wo*Ws))

%step(Wsrpid)

 

4. Определяем переходную характеристику исходной (нескорректированной) системы, произведя «Пуск» скрипта п.3 в Matlab.

 

 

 

5. Определяем переходную характеристику скорректированной системы, сняв знак % в последних двух строках скрипта и установив % в двух предыдущих строках.

 

 

 

6. Модель скорректированной системы в Simulink и графики переходных характеристик

исходной и скорректированной систем приведены на рисунках.

 

 

 

4. Настройка параметров регуляторов по критерию модульного (технического) оптимума.

 

При проектировании и наладке систем управления объектами, не содержащими чистого запаздывания, наибольшее применение получили два критерия – модульный оптимум (МО) и симметричный оптимум (СО) (рис. 1).

 

 

Рис.1. Частотные и переходные характеристики одноконтурной САУ, настроенной по критериям модульного (а) и симметричного (б) оптимумов

 

 

Критерий модульного оптимума, называемый также критерием амплитудного, или технического, оптимума, заключается в выполнении следующих требований к форме амплитудной характеристики замкнутой системы по каналу управления (рис.2): характеристика в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равна единице, наклонный участок характеристики должен быть как можно более крутопадающим, т. е. критерий модульного оптимума требует, чтобы настраиваемая система приближалась по своим частотным передаточным свойствам к идеальному фильтру низкой частоты, имеющему прямоугольную частотную характеристику.

 

 

Рис. 2. Амплитудная частотная характеристика замкнутой системы по каналу

управления

 

Тогда, при отсутствии помехи на входе, система (рис. 3) будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействие и подавлять возмущение . При наличии на входе высокочастотной помехи частоту пропускания системы выбирают тоже достаточно большой, но по компромиссному условию совместной фильтрации всех действующих сигналов.

 

 

Рис. 3. Алгоритмическая структура исходной САУ

 

Настройка системы по критерию МО обеспечивает малое перерегулирование и достаточно быстрое протекание переходного процесса:

 

. (1)

Эти верхние пределы показателей качества соответствуют идеальному фильтру низкой частоты, который практически нереализуем.

Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоугольной характеристике идеального фильтра, имеет фильтр Баттерворта, у которого АЧХ

. (2)

На практике обычно используют фильтры с порядком n = 2…8.

Колебательная модель

 

(3)

замкнутой системы при коэффициенте демпфирования имеет амплитудную характеристику

 

, (4)

отсюда , (5)

соответствующую частному случаю фильтра (2) с n=2.

 

Таким образом, в рамках приближённой модели (3) критерию МО соответствует значение коэффициента демпфирования

(6)

при этом главные показатели качества

 

, (7)

где - частота собственных незатухающих колебаний замкнутой системы

(при ), характеризующая полосу пропускания фильтра; - постоянная времени

разомкнутого контура системы.

Для колебательной модели (3) нестрогий критерий МО обеспечивает одновременно минимум квадратичной интегральной оценки

(8)

и улучшенной интегральной оценки

 

(9)

с весовым коэффициентом .

При настройке систем более высокого порядка (n > 2) по критерию МО можно обходиться и без приближённой модели (3). Для этого передаточную функцию замкнутой системы по каналу управления

(10)

приводят к нормированному виду

, (11)

где = - оператор Лапласа, соответствующий безразмерному (относительному) времени = ; - масштабный множитель

; (12)

безразмерные коэффициенты

. (13)

 

Чтобы обеспечить желаемую форму амплитудной характеристики, близкую к прямоугольной, коэффициенты нормированной функции (11) выбирают в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта (табл. 1).

 

Таблица 1

 

При таких сочетаниях коэффициентов амплитудная характеристика фильтра принимает вид (2), причём , а относительная частота соответствует значению амплитудной функции, равному 0,7 (при ).

Масштабный множитель не влияет на форму переходного процесса и служит обобщённой мерой быстродействия системы. Его значение можно выбрать, исходя из требуемых показателей быстродействия и , по следующим приближённым формулам:

, (14)

где n – порядок полинома Баттерворта.

Найденное по этим формулам значение обеспечивают за счёт выбора по формуле (12) соответствующего общего передаточного коэффициента разомкнутого контура k, который, как известно, входит в свободный член : - для статических систем, - для астатических систем.

Применительно к колебательной модели (3) параметры фильтра Баттерворта

. (15)

В системах, параметры которых выбраны в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта, перерегулирование

(16)

 

Указанные выше значения длительности переходного процесса и перерегулирования строго выдерживаются только в тех случаях, когда числитель передаточной функции (10) не содержит слагаемых с оператором p. Тем не менее и для систем с более сложным полиномом числителя можно пользоваться рекомендуемыми значениями коэффициентов Баттерворта. При этом также обеспечивается достаточно хорошее качество переходного процесса. Кроме того, настройки, соответствующие полиномам Баттерворта, могут использоваться как исходные, отправные для отыскания оптимальных настроек систем, передаточные функции которых имеют числитель в виде полинома от p.

 

 

Пример 4

Пусть исходная часть системы, состоящая из функционально необходимых элементов, описывается передаточной функцией

, (17)

где 1 с, 2 с.

Требуется определить настроечные параметры и последовательно включаемого корректирующего устройства

(18)

и общий передаточный коэффициент k, обеспечивающие критерий МО и желаемую длительность переходного процесса с.

Передаточная функция замкнутой системы по каналу управления

. (19)

Не обращая внимания на наличие полинома в числителе этой передаточной функции, будем подбирать настроечные параметры так, чтобы безразмерные коэффициенты полинома знаменателя соответствовали фильтру Баттерворта.

Определим вначале масштабный множитель , ориентируясь на приближённое соотношение (14):

с. (20)

Теперь в соответствии с формулой (12) можно найти необходимое (для заданного быстродействия) значение общего передаточного коэффициента:

с-1. (21)

Для оба безразмерных коэффициента Баттерворта, согласно табл. 1, должны быть равны 2:

, (22)

. (23)

Решая совместно эти два уравнения, получим с и с.

 

Применим изложенный метод оптимизации амплитудной характеристики для расчёта настроечных параметров типовых регуляторов:

П – регулятор ; (24)

И – регулятор ; (25)

ПИ – регулятор ; (26)

ПД – регулятор ; (27)

ПИД – регулятор (28)

или

 

, (29)

используемых для управления следующими инерционными объектами второго – третьего порядков без запаздывания:

; (30)

; (31)

; (32)

. (33)

Типовые регуляторы обычно используются для управления инерционными объектами второго – третьего порядков без запаздывания, в которых , причём в общем случае сомножитель с наименьшей постоянной времени приближённо заменяет собой несколько инерционных звеньев с ещё более малыми постоянными времени ,т.е.

. (34)

Приведенные в табл. 2 модели обычно используются для приближенного описания объектов, входящих в типовые контуры регулирования систем управления электроприводами (контуры регулирования напряжения, тока и частоты вращения).

 

Таблица 2

 

 

Для снижения и устранения больших перерегулирований, которые возникают в системе, настроенной по критерию СО, применяют сглаживание ступенчатого задающего воздействия путём включения на входе системы специального фильтра – инерционного звена первого порядка

, (35)

где для астатических объектов (30) и (32) и для статических объектов (31) и (33) с . При меньших отношениях постоянную времени можно уменьшить. Естественно, что быстродействие системы при включении сглаживающего фильтра снижается.

 

Используем общие принципы для выбора настроечных параметров типовых ПИ - и ПИД – регуляторов, которые обычно используются для регулирования следующих инерционных объектов первого и второго порядков с запаздыванием:

; (36)

; (37)

, (38)

где , а параметры и определяются экспериментально – проведением касательной к переходной характеристике объекта

(рис. 4, табл. 3).

Рис. 4. Переходные характеристики реального объекта управления (1) и его приближённых моделей второго порядка (2) и первого порядка с запаздыванием (3)

 

Таблица 3

Связь между параметрами s-образной переходной характеристики (рис. 4) и параметрами аппроксимирующей модели

 

 

Рекомендации по выбору настроечных параметров являются базовыми, отправными, которые подлежат уточнению в зависимости от точки приложения возмущения и от требований, предъявляемых к переходному процессу в системе регулирования.

В табл. 4 приведены эмпирические формулы, в которых обобщены результаты экспериментальных исследований по определению настроечных параметров типовых регуляторов для объектов с запаздыванием. Параметры определены путём моделирования систем при ступенчатых изменениях задающего R(p) и возмущающего F(p) воздействий. Обеспечиваемым показателем качества системы является перерегулирование

(0 или 20%) на выходе объекта.

Формулы для канала управления получены без учёта ограничения на величину управляющего воздействия, необходимого для обеспечения заданного показателя .

Если такое ограничение наложено, то приходится уменьшать коэффициент регулятора (без изменения параметра ), например, при максимально допустимом значении управляющего воздействия . Передаточный коэффициент ПИ – регулятора следует выбирать по формуле

. (39)

 

Таблица 4

 

Моделирование на ЭВМ и анализ переходных процессов, происходящих в замкнутой системе по каналам управления и возмущения при различных настройках, позволяют сделать следующие выводы о влиянии критериев настройки и параметров регулятора на показатели качества переходного процесса и о достоинствах и недостатках самих критериев:

1. Увеличение передаточного коэффициента приводит к уменьшению времени нарастания и повышению перерегулирования .

2. Увеличение постоянной интегрирования даёт повышение длительности и снижение перерегулирования .

3. Критерий МО предпочтителен при оптимизации систем, отрабатывающих в основном изменения задающего воздействия , т.е. следящих и программных систем.

4. Критерий СО целесообразно применять при настройке систем, которым чаще приходится реагировать на возмущающие воздействия , т.е. стабилизирующих систем.

5. Оба критерия обеспечивают по каналу возмущения приблизительно одинаковые значения первого максимального отклонения yм:

, (40)

где коэффициент 0,85 соответствует отношению , а 1,45 – отношению .

6. При настройке по критерию МО относительная длительность переходного процесса по каналу возмущения увеличивается с ростом отношения :

, (41)

а по критерию СО – уменьшается:

, (42)

где соответствует моменту достижения регулируемой величины значения (при ).

7. При длительности переходного процесса по каналу возмущения для обоих критериев одинаковы. При лучшее быстродействие даёт МО, а при - критерий СО.

 

5. Настройка параметров регуляторов систем с апериодической реакцией.

 

Довольно часто от системы управления требуется, чтобы её переходная характеристика как можно быстрее стремилась к установившемуся значению с минимальным перерегулированием. Системы такого типа принято называть системами с апериодической реакцией. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению принимают зону, равную 2% от этого значения. Тогда временем установления считают время , за которое переходная характеристика входит в указанную зону, как показано на рис. 1. Апериодическая реакция характеризуется следующими показателями:

1. Установившаяся ошибка = 0.

2. Быстродействие минимальное время нарастания и время установления.

3. 0,1% относительное перерегулирование < 2%.

4. Относительный выброс ниже установившегося значения < 2%.

Показатели (3) и (4) требуют, чтобы после того как в момент переходная характеристика войдёт в зону 2% от установившегося значения, она всё время оставалась в пределах этой зоны.

 

Рис. 1. Апериодическая реакция системы (А – амплитуда входного ступенчатого

воздействия)

 

Чтобы определить коэффициенты передаточной функции замкнутой системы , при которых реакция будет иметь апериодический характер, приведём сначала эту передаточную функцию к нормированному виду. Покажем это на примере системы третьего порядка:

 

. (1)

Разделим числитель и знаменатель на :

 

 

. (2)

Введя обозначение , получим:

. (3)

Выражение (3) – это нормированная передаточная функция замкнутой системы третьего порядка. Тем же самым способом определяются и нормированные передаточные функции систем более высокого порядка. Коэффициентам и т.д. придаются значения, при которых система будет иметь апериодическую реакцию. Коэффициенты, приведенные в табл. 1, выбраны таким образом, чтобы получить апериодическую реакцию и минимизировать время установления и время нарастания до 100% от заданного значения. В выражении (3) фигурирует нормированная переменная . Поэтому частота определяется по заданному времени установления или времени нарастания. Так, если в системе третьего порядка необходимо иметь время установления, равное 1,2 с, то согласно табл. 1 мы имеем нормированное время установления

 

.

Отсюда находим частоту :

.

 

Таблица 1

Коэффициенты и параметры переходной характеристики системы с апериодической реакцией

 

После этого можно записать передаточную функцию замкнутой системы в виде (1).

При синтезе системы с апериодической реакцией выбирается тип корректирующего устройства и записывается выражение для передаточной функции замкнутой системы. Эта передаточная функция приводится к виду (1), после чего нетрудно определить параметры корректирующего устройства.

 

Пример 5

 

Рассмотрим систему с единичной обратной связью, корректирующим устройством и предшествующим фильтром.

Объект имеет передаточную функцию

,

а корректирующее устройство – передаточную функцию

.

Предшествующий фильтр должен иметь передаточную функцию

.

В этом случае передаточная функция замкнутой системы с предшествующим фильтром равна

.

С помощью табл.1 находим требуемые значения коэффициентов: и .

Если время установления (по критерию 2%) должно быть равно 2 с, то и, следовательно, . Тогда желаемый характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид:

.

Отсюда находим, что s = 2,84, z = 1,34 и k = 6,14. Переходная характеристика системы имеет значения с, с и с.

 

 


Приложение 5

 

Реализация цифровых регуляторов

 

Цифровые регуляторы могут быть реализованы в виде импульсных фильтров (на базе четырехполюсников в сочетании с квантователями и экстраполяторами), на основе микроЭВМ и цифровых устройств.

Передаточная функция цифрового регулятора в соответствии с рис.7.4б будет (7.13)

причем всегда должно быть n≥m.

Разделим числитель на знаменатель на zn. Тогда для предельного случая n=m

(7.14)

Если a0=1, тоиз (7.14) можно получить линейный алгоритм работы цифрового управляющего устройства:

u[k]=b0e[k]+b1e[k-1]+…+bme[k-n]- (a1u[k-1]+a2u[k-2]+…+anu[k-n]). (7.15)

Из полученных соотношений можно установить, что цифровой регулятор оказывается физически реализуемым, если в (7.14) нет слагаемых с положительной степенью z. Наличие хотя бы одного члена в(7.14) с положительной степенью z означает «упреждение», т.е. показывает, что выходной сигнал опережает входной. В равной степени это относится и к слагаемым уравнения (7.15), т.е. значение u[k] будет определятьсязначениями опережающих его слагаемых u[k+1] и e[k+1].

Условием физической реализуемости цифрового регулятора, таким образом, является выполнение условия n≥m. Кроме того, при n=m знаменатель (7.14) не должен иметь сомножителя z-1 при b0 ≠0 , т.е. должно быть также a0≠0.

К цифровым регуляторам предъявляются требования к точности реализации параметров при их вычислении с ограниченной разрядностью процессоров.

Для обеспечения устойчивости регуляторов должно выполняться условие расположения полюсов их передаточной функции внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Передаточная функция цифрового регулятора обычно реализуется в виде программы ЭВМ, реализуемых методами прямого, последовательного и параллельного программирования.

При прямом программировании из передаточной функции (7.14) запишем уравнение в форме обратного преобразования:

(7.16)

решением которого будет:

(7.17)

В общем виде уравнение (7.17) может быть представлено, как разность двух групп слагаемых входного и выходного сигналов:

(7.18)

Для последовательного программирования передаточную функциюрегулятора представляют в виде произведения простейших передаточных функций, каждая из которых реализуется простейшими программами:

(7.19)

где p – наибольшее из чисел n и m. Для каждой простейшей программы используется метод прямого программирования.

При параллельном программировании передаточная функция (7.14) представляется в виде (7.20)

где p – наибольшее из чисел n и m. Здесь также каждая из передаточных функций может быть реализована методом прямого программирования.