Замечание

Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример

Задание. Найти асимптоты графика функции

Решение. Область определения функции:

а) вертикальные асимптоты: прямая - вертикальная асимптота, так как

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонная асимптота: .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая .

Наклонная асимптота - прямая .

 

16⁰. Исследование функции y=f(x) и построение ее графика.

Схема исследования:

1. Найти область определения функции (ООФ – значения переменной х, при которых функция существует).

 

2. Исследовать функцию на четность – нечетность:

 

Если f(-x)=f(x), то функция четная (график симметричен относительно оси Оy).

Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

 

3. Найти вертикальные асимптоты.

 

!!! Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если a и b - конечные числа.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х®х₀-0 (слева) или х®х₀+0 (справа) – равен бесконечности, т.е. lim f(x)= или lim f(x)= . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной

х®х₀-0 х®х₀+0

асимптотой графика функции y=f(x).

 

4. Найти горизонтальные асимптоты (исследовать поведение функции в бесконечности).

 

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции lim f(x)=b. Тогда прямая y=b есть

Х

горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).

 

Замечание. Если конечен только один из пределов lim f(x)=b_л или

Х

lim f(x)=b_п, то функция имеет левостороннюю y=b _л или правостороннюю

Х

y=b_п горизонтальную асимптоту.

 

5. Найти наклонную асимптоту.

 

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции lim и lim[f(x)-kx]=b.

Х Х

Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x).

 

!!! Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

 

6. Найти экстремумы (максимум, минимум) и интервалы монотонности (возрастание, убывание) функции.

- найти производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

- найти корни этого уравнения и точки, в которых производная не существует (критические точки);

- исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции (найти ординаты точек экстремума!);

- на промежутке, где - функция возрастает; на промежутке, где - функция убывает.

 

7. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

- найти вторую производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

- найти корни этого уравнения;

- исследовать знак второй производной слева и справа от каждой точки и сделать вывод о наличии точек перегиба функции (найти ординаты точек перегиба!);

- на промежутке, где - функция будет вогнутой; на промежутке, где - функция будет являться выпуклой вверх.

 

8. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

 

!!! Уравнение оси Ох: y=0.

Уравнение оси Oy: х=0.

 

9. Используя результаты исследования, построить график функции.