Производная функции одной переменной
10. Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача о скорости движущейся точки
Пусть s = s (t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки.
Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t.
Обозначим через Δs путь, пройденный за промежуток времени Δt от момента t до t + Δt , т. е.
Δs = s(t + Δt ) - s (t). Отношение 
называется средней скоростью точки за время от t до t + Δt.
Чем меньше Δt, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δt, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток отt до t + Δt, когда Δt→ 0: 
Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t.
Задача о касательной к данной кривой.
Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести касательную к данной кривой в данной точке 
.
Так как точка касания 
дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.16).
Рис.16
Через точки и 
проведем секущую 
Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению 
— , где
Угловой коэффициент касательной 
к данной кривой в точке можно найти на основании следующего определения:
Определение 1.Касательной к кривой в точке называется прямая , угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда 
. Отсюда следует, что
Определение 2.Производной функции 
называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении этого приращения к нулю:
.
Значение производной функции в какой-либо данной точке 
обозначается обычно 
или 
.
Геометрический смысл производной. Значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции 
в точке с абсциссой .
Механический смысл производной. Пусть задан путь s = s (t) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t: v(t)= 
Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности 
и дифференцируема в этой точке (т.е. имеет производную). Тогда функция непрерывна в этой точке.
Доказательство. 
, следовательно, непрерывна в точке .
20. Основные свойства производной
Теорема 1.Пусть функции , 
дифференцируемы. Тогда функция 
будет дифференцируема и
.
Доказательство.
.
Теорема 2. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция 
будет дифференцируема и
.
Доказательство.
.
Теорема 3. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция 
будет дифференцируема (там, где она существует) и
.
Доказательство.
.
30. Производная сложной функции
Теорема. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности и дифференцируема в точке ; функция 
определена в точке 
: 
некоторой окрестности 
и дифференцируема в точке . Тогда 
будет дифференцируема в точке , причем
.
Доказательство. Дадим 
приращение 
. Тогда 
и 
получат соответственно приращения 
и 
.
Предположим, что при 
не принимает значений, равных нулю. Тогда рассмотрим:
.
Т.к. функция дифференцируема в точке , а, следовательно, и непрерывна в точке , то при также и 
. Следовательно,
.
Замечание. Теорема остается справедливой и в случае, если будет обращаться в нуль.
Пример. Найти производную функции 
.
Решение.
.
40. Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности и монотонна в этой окрестности (т.е. либо возрастает, либо убывает). Тогда, если функция дифференцируема в точке , то обратная функция 
будет дифференцируема в точке 
: 
и производная обратной функции:
.
Доказательство. Рассмотрим точку и значение функции . Рассмотрим точку из окрестности точки и . 
– приращение аргумента, тогда будет меняться: 
.
.
Замечание. Если 
, то теорема в этом случае не работает.
50. Уравнения касательной и нормали к линии
Составим уравнение касательной к линии 
, являющейся графиком функции в ее точке 
, где (рис. 17). Т.к. касательная проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный , то ее уравнение имеет вид
. (1)
Определение.Нормалью к линии в ее точке 
называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной данной линии, построенной в точке .
Т.к. нормаль к линии в точке проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный 
, то ее уравнение имеет вид
. (2)
60. Дифференцирование элементарных функций
1. 
– 
: 
.
Доказательство. 
.
2. 
: 
.
Доказательство.
.
(*): 
.
Таким образом, 
.
3. 
: 
(частный случай п.2).
4. 
: 
.
Доказательство.
.
Таким образом, 
.
5. 
: 
(частный случай п.4).
6. 
: 
.
Доказательство.
.
Таким образом, 
.
7. 
: 
.
Доказательство.
.
Таким образом, 
.
8. 
: 
.
Доказательство.
.
Таким образом, 
.
9. 
: 
.
Доказательство.
.
Таким образом, 
.
10. 
: 
.
Доказательство. Пусть , тогда 
– обратная функция. Отсюда 
. Следовательно, по теореме о производной обратной функции:
.
Таким образом, 
.
Замечание. Корень берется со знаком “+”, потому что значения функции лежат в интервале 
, а 
в этом интервале положителен. При 
, т.е. для 
производной не существует, хотя сама функция в этих точках определена.
11. 
: 
.
Доказательство. Пусть , тогда 
– обратная функция. Следовательно:
.
Таким образом, 
.
12. 
: 
.
Доказательство. Пусть , тогда 
– обратная функция. Следовательно:
.
Таким образом, 
.
13. 
: 
.
Доказательство. Пусть , тогда 
– обратная функция. Следовательно:
.
Таким образом, 
.
14. 
: 
.
Доказательство. Пусть , тогда 
. Следовательно:
.
Таким образом, 
.
70. Производная степенно-показательной функции
Определение. Функция вида
, 
,
где и основание, и показатель изменяются вместе с независимой переменной, называется степенно-показательной.
Найдем ее производную 
.
1) Прологарифмируем данную функцию:
.
2) Продифференцируем полученное тождество. С одной стороны:
.
С другой стороны:
.
Следовательно:
.
Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию 
), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат
– логарифмической производной от функции .
Пример. 
. Найти .
Решение.
1) 
.
2) С одной стороны: 
;
С другой стороны: 
.
Следовательно, 
.
80. Дифференцирование неявной функции
Определение. Неявной функцией независимой переменной называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего и и не разрешенного относительно .
Уравнение функции, заданной неявно, имеет вид
. (3)
Пусть функция задана неявно уравнением (3). Тогда производную от этой функции можно найти, дифференцируя по обе части уравнения с учетом того, что есть функция от (определяемая этим уравнением).
Пример. Дана функция 
. Найти 
.
Решение. Функция задана неявно. Дифференцируем обе части уравнения по :
,
,
отсюда 
.
90. Производные высших порядков
Допустим, что функция имеет производную 
в некотором интервале независимой переменной . Производная от (если она существует) называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается 
:
.
Таким же образом производной третьего порядка или третьей производной 
от функции называется производная от производной второго порядка.
Определение. Производной 
-го порядка 
называется производная от производной 
-го порядка
.
Все свойства, которые имеют место для первой производной функции, сохраняются и для второй производной и для производной -го порядка.
Пример.
, , 
, …,
.
100. Основные теоремы для дифференцируемых функций
Теорема Ферма. Если функция непрерывна на отрезке 
и достигает своего наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке 
этого отрезка (т.е. 
), то, если в точке существует производная , то она обязательно равна 0: 
.
Доказательство. Предположим, что функция непрерывна на отрезке и достигает своего наибольшего значения в точке , которая является внутренней точкой отрезка . Пусть функция дифференцируема в точке . Покажем, что . Действительно:
.
Существование 
означает, что в точке существуют оба односторонних предела функции , которые равны между собой. Рассмотрим эти пределы:
: 
; (4)
: 
. (5)
. Из результатов (3) и (4) следует, что 
, следовательно, .
Геометрический смысл.
Касательная будет параллельна оси 
– геометрическое истолкование теоремы Ферма (рис. 18).
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале 
и при этом 
, т.е. принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере одна точка такая, что .
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1) 
для любого 
;
2) 
, тогда по свойству непрерывных функций достигает своего наибольшего и наименьшего значений на отрезке . Тогда хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке отрезка . Обозначим эту точку через : . Функция дифференцируема на всем интервале , а значит и в точке . Следовательно, по теореме Ферма, .
Геометрический смысл
Если на концах отрезка функция дифференцируема и принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка, где касательная параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Роля (рис. 19).
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда существует такая точка , что
.
Доказательство.
Рассмотрим функцию 
, которая, очевидно, непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Рассмотрим, какие значения функция принимает на концах отрезка.
.
.
Получили 
, следовательно, функция 
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. По теореме Ролля, существует точка : 
. Имеем:
.
.
Геометрический смысл.
На отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги кривой ( 
– тангенс угла наклона хорды, которая стягивает концы кривой) (рис. 20).
110. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.Раскрытие неопределенностей различных видов.
ОпределениеПравило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа 
или 
.
Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.
· Если 
и 
, то 
;
· Если 
и 
, то аналогично .
Пример. Вычислить предел, используя правило Лопиталя 
Решение. Подставляем значение
Пределы с неопределенностью данного типа можно находить по правилу Лопиталя:
Пример. Найти предел 
Решение. Подставляем бесконечность
Для данного типа неопределенностей можно использовать правило Лопиталя при нахождении предела.
