Операции над непрерывными функциями

Теорема 1. Пусть функции и определены в точке и некоторой ее окрестности. Тогда, если функции и непрерывны в точке , то функции , будут также непрерывны в точке . Кроме того, если , то функция непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть функции и определены в и непрерывны в точке . Тогда и . Из соответствующих свойств предела функции в точке получаем:

;

;

.

Отсюда следует, что функции , и непрерывны в точке .

Теорема 2.Пусть функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , где – значение функции в точке ( ), тогда сложная функция будет непрерывна в точке .

Доказательство. Нужно доказать: .

По условию, функция непрерывна в точке . Это значит: . То, что , одновременно означает . Тогда:

.

Таким образом, получили: , следовательно, функция непрерывна в точке .

 

§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 1. Пусть функция определена на множестве . Наибольшим значением функции называется такое число , что для любого и для любого существует : .

Обозначение: .

Определение 2.Наименьшим значением функции на множестве называется такое число , что для любого и для любого существует : .

Обозначение: .

Наибольшее и наименьшее значения могут не достигаться функцией.

Пример.

Рассмотрим функцию на интервале .

Функция убывает, , наименьшее значение 1.

Теорема 1.Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Теорема 2.Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает различные по знаку значения на его концах, т.е. . Тогда существует хотя бы одно такое, что .

Теорема 3 (о промежуточном значении). Пусть функция непрерывна на отрезке и , . Тогда для любого числа существует такое, что .

Определение 3. Пусть дана функция . Тогда обратной функцией для называется функция : для любого выполняется , где (рис. 15).

Теорема 4.Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и является на всем этом отрезке либо возрастающей функцией, либо убывающей. Тогда обратная функция будет непрерывной на отрезке , где – множество значений функции .