Занятие 3. Теория Бора для атома водорода и водородоподобных атомов. Спектральные серии атома водорода.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сферических координатах:

где волновая функция; полная энергия частицы; потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат).

В атоме водорода (водородоподобном ионе) потенциальная энергия

где зарядовое число; элементарный заряд; электрическая постоянная.

Собственное значение энергии:

где постоянная Планка; главное квантовое число .

Символическая запись функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода,

где квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное.

Вероятность того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема , взятого в окрестности точки с координатами

где в сферических координатах.

В состоянии волновая функция сферически-симметричная, т.е. не зависит от углов и .

Нормированные собственные функции, отвечающие состоянию (основному) и 2 состоянию,

или в атомных единицах

где в качестве единицы длины принят боровский радиус:

При таком выборе единицы длины расстояние от ядра будет выражаться в безразмерных единицах длины, называемых атомными единицами.

Вероятность найти электрон в атоме водорода, находящемся в состоянии, в интервале одинакова по всем направлениям и определяется формулой

Орбитальные момент импульса и магнитный момент электрона:

где орбитальное квантовое число, которое может принимать значения 0, 1, 2, …, ; магнетон Бора.

Проекции орбитальных момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью ):

Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов:

Спин и спиновый магнитный момент электрона:

где спиновое квантовое число .

Проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью ):

где спиновое магнитное квантовое число

Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов:

Распределение электронов по состояниям в атоме с помощью спектроскопических символов:

Принцип Паули. В атоме не может находиться два (и более) электрона, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел:

Полный орбитальный момент импульса электрона: где внутреннее квантовое число

Полный орбитальный момент атома: где полное орбитальное квантовое число.

Полный спиновый момент атома: где полное спиновое квантовое число.

Полный момент импульса атома: где полное внутреннее квантовое число.

Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм): где мультиплетность. Вместо полного орбитального квантового числа пишут символ в соответствии с таблицей:

Энергия атома в магнитном поле:

Правила отбора для квантовых чисел :

Не осуществляются переходы а при переходы

Первый постулат Бора:

движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

где масса электрона, его скорость по орбите радиуса постоянная Планка.

Радиус стационарной орбиты атома водорода:

где заряд электрона; электрическая постоянная.

Второй постулат Бора (правило частот):

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией:

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний и соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения).

Кинетическая, потенциальная и полная энергия электрона на орбите соответственно равны:

Момент импульса электрона на стационарных орбитах:

где масса электрона; радиус орбиты; скорость электрона на орбите; главное квантовое число; постоянная Планка.

Энергия электрона в водородоподобном атоме:

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии, электрическая постоянная.

Сериальная формула, определяющая длину волны или частоту света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое:

где и постоянная Ридберга, и целые числа; номер серии спектральных линий ( серия Лаймана, серия Бальмера, серия Пашена и т.д.); частота излучения. Для данной серии и т.д.