Задача распределения ресурсов

Имеется определенное количество ресурсов s₀, которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x_i ( ; ) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x_i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f_i(x_i) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).

Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть s_k ( ) – параметр состояния, т.е. количество свободных средств после k-го шага для распределения между оставшимися (n – k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:

(11.11)

Введем в рассмотрение функцию – условно оптимальная совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1)-го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме s_k_-1 ( ). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить следующим образом: .

Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:

(11.12)

Далее по полученным результатам условной оптимизации можно определить оптимальное распределение ресурсов по следующей схеме:

Пример 11.1. Имеется определенное количество ресурсов s₀=400, которое необходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x_i ( ; ) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x_i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f_i(x_i) ( ) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):

;