Графический (геометрический) метод решения задач ЛП
Пример 5.1.Решить следующую задачу линейного программирования геометрическим методом:
.
Решение:
Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим методом.
1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений (ОДР).
Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования (для удобства пронумеруем неравенства):
Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х2 через х1:
.
Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:
Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 5.1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.
2 этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.
Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.
Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:
.
При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 5.1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I)[1].
Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:
3 этап: определение ОДР задачи линейного программирования.
Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO, который и является ОДР рассматриваемой задачи.
Рис. 5.1. Область допустимых решений задачи
4 этап: построение вектора-градиента.
Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции[2]. Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:
Построим данный вектор на графике (рис. 5.2).
5 этап: построение прямой целевой функции.
Рассмотрим целевую функцию данной задачи:
.
Зададим ей какое-либо значение, к примеру, 
. Выразим переменную х2 через х1:
.
Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:
Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С
6 этап: определение максимума целевой функции.
Перемещая прямую F(X) параллельно самой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5.3), такой точкой является точка С – точка пересечения прямых I и II.
Рис. 5.3. Определение точки максимума целевой функции F(X)
Определим координаты точки С, с этой целью, решим следующую систему линейных уравнений:
Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:
Ответ: при заданных ограничениях максимальное значение целевой функции F(Х)=24, которое достигается в точке С, координаты которой х1=6, х2=4.
Пример 5.2. Решить задачу линейного программирования геометрическим методом:
Решение:
Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.
4 этап: построение вектора-градиента.
Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 5.4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функции F(X).
5 этап: построение прямой целевой функции.
Построение прямой целевой функции F(X) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 5.4).
Рис. 5.4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С
6 этап: определение оптимума целевой функции.
Перемещая прямую F(x) параллельно самой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5.5), такой точкой является точка О с координатами (0; 0).
 |
Рис. 5.5. Определение точки минимума целевой функции
Подставляя координаты точки минимума в целевую функцию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.
Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F(Х)=0, которое достигается в точке О (0; 0).
Пример 5.3. Решить следующую задачу линейного программирования геометрическим методом:
Решение:
Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x1 и x2.
Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана-Гаусса базисные переменные x1 и x2.
Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со второй:
.
Умножим вторую строку на 
:
.
Сложим вторую с первой строкой:
.
В результате система ограничений примет следующий вид:
Выразим базисные переменные через свободные:
Выразим целевую функцию также через свободные переменные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:
.
Запишем полученную задачу линейного программирования
Так как переменные x1 и x2 неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:
Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эквивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:
Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим методом.
1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений (ОДР).
Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования (для удобства пронумеруем неравенства):
Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 5.6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.
2 этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.
С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 5.6) с помощью стрелок.
3 этап: определение ОДР задачи линейного программирования.
Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.
Рис. 5.6. Фрагмент MathCAD-документа:
построение области допустимых решений задачи
Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.