Возрастание и убывание функции.
Исследование функции, построение графика.
Учебно-практическое пособие
Возрастание и убывание функции.
Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ(а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ(а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:
если на интервале хÎ(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:
если , то монотонно возрастает;
если , то монотонно убывает.
Пример 1.
Определить интервалы возрастания и убывания функции
Решение.
Область определения данной функции: хÎ(0;+¥).
Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: >0.
Так как где >0, то решаем систему неравенств:
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “”).
Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: <0, то есть, решая систему неравенств:
.
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “¯”).
Ответ: функция при , при .
Пример 2.
Определить интервалы монотонности функции
Решение.
Область определения функции: хÎ(-¥;+¥).
Находим производную здесь во всех точках, кроме , где .
Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х ¹ 0.
Далее очевидно, что для любого х1 > 0 будет , а для любого х2 < 0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.
Ответ: при хÎ(-¥;+¥) функция монотонно возрастает.
Пример 3.
Исследовать на возрастание и убывание функцию
Решение.
Здесь хÎ(-¥;+¥).
Решив уравнение х4 – х2 = 0, найдем точки х1 = , х2 = 0, х3 = 1, в которых производная .
Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–¥;–1), (–1;0), (0;1), (1;+¥) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:
Ответ: функция возрастает в интервалах (–¥;–1) и (1;+¥), убывает в интервале хÎ(–1;1).
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интервалы монотонности следующих функций:
1. ; | 4. |
2. | 5. ; |
3. ; | 6. |
Ответы.
1. При (–1;1) и (1;+¥) возрастает.
2. При – возрастает; при и (1;+¥) – убывает.
3. При (0;2) – возрастает; при и (2;+¥) – убывает.
4. При – возрастает; при – убывает.
5. При [0;+¥) – возрастает.
6. При – возрастает; и – убывает, где = 0, ±1, ±2,¼