ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какие колебательные процессы называются: периодическими; гармоническими? Дайте определения величин, характеризующих гармонические колебания: периода и частоты; циклической частоты; амплитуды; фазы и начальной фазы. В каких единицах измеряются эти величины?

2. Материальная точка движется вдоль оси х по закону х = A cos (ω0t + α). Постройте графики: а) смещения х, скорости v и ускорения а в зависимости от времени t; б) v и а в зависимости от х.

3. Получите и обсудите результаты сложения двух гармонических колебаний одинакового направления: а) с равными частотами; б) с равными амплитудами и мало различающимися частотами. Что такое биения?

4. Каковы результаты сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты; кратных частот? Опишите фигуры Лиссажу при соотношении частот: а) 1 : 2; б) 1 : 3.

5. Получите выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий гармонического колебания. Изобразите графически их зависимости от времени.

6. При каких условиях простая колебательная система совершает: а) незатухающие; б) затухающие свободные колебания? Составьте и объясните дифференциальные уравнения этих колебаний. Какие параметры системы определяют циклическую частоту свободных колебаний?

7. Какие колебания называются вынужденными? В чем заключается явление резонанса? Считая амплитудное значение вынуждающей гармонической силы постоянным, изобразите резонансные кривые: а) зависимости амплитуды скорости от циклической частоты вынуждающей силы; б) зависимости разности фаз между скоростью и вынуждающей силой от циклической частоты вынуждающей силы.

8. Рассмотрите механизм распространения продольных и поперечных волн в упругих средах. Как связаны между собой фазовая скорость волны, частота колебаний и длина волны?

9. Получите и объясните уравнение плоской волны при условии, что частицы среды совершают гармонические колебания одной и той частоты и амплитуды.

10. Покажите, что уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х: является решением волнового уравнения, которое в данном случае может быть записано в виде , где v – фазовая скорость волны.

11. Покажите, что в случае распространения гармонической упругой волны средние по времени значения объемной плотности энергии и плотности потока энергии в любой точке среды соответственно равны: ,где р – плотность среды; А – амплитуда; ω – циклическая частота,

12. Что называется интерференцией? Получите уравнение стоячей волны и проведите его анализ.

ЗАДАЧИ

7.1.Материальная точка совершает колебания вдоль оси по закону х = 6,0 cos π (t + 0,20), где t в секундах. Определить амплитуду смещения А и период колебаний Т. Найти смещение х, скорость v и ускорение a материальной точки в момент времени t = 4,0 с.

7.2.Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. Амплитуда скорости частицы Av = 22 см/с, амплитуда ее ускорения Аa = 77 см/с². Найти амплитуду смещения А и циклическую частоту ω колебаний частицы.

7.3.Частица совершает прямолинейные гармонические колебания с периодом T = 0,75 с. Определить минимальный промежуток времени τ, в течение которого смещение частицы изменяется от +A/2 до -A/2, где A – амплитуда колебаний частицы.

7.4.Материальная точка совершает колебания вдоль оси по закону х =A sin ωt, где ω = 1,57 с^‑1. Амплитуда скорости точки Аv = 9,42·10^-2 м/с. Найти для моментов времени t1 = 0, t2 = Т/8 и t3 = T/4 значения координаты х, скорости v и ускорения а точки. Определить средние значения скорости и ускорения за промежутки времени τ = t2 - t1 и τ = t3 – t2.

7.5.Частица совершает колебания вдоль оси х по закону х = 6,00 cos 0,5 π (t + 1) (см). Найти путь l, пройденный частицей за период, а также средние значения скорости < v > и ускорения < а > за первую четверть периода.

7.6.Точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Период колебаний Т = 2 с, амплитуда А = 4 см. Найти скорость точки v в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия х = 2 см.

7.7.Точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Циклическая частота ω = 4с^‑1, амплитуда ускорения Аа = 72 см/с². Найти скорость точки v в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия х = 2,2 см.

7.8.Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. При смещении частиц от положения равновесия на х1 = 2,6 см ее скорость v1 = 2,9 см/с, а при смещении на х2 = 3,4 см скорость частицы v2 = 1,9 см/с. Найти амплитуду смещения А и циклическую частоту колебаний частицы.

7.9.Найти период Т и амплитуду А прямолинейных гармонических колебаний частицы, если при смещениях х1 и х2 от положения равновесия скорость частицы соответственно v1 и v2 .

7.10.Частица совершает колебания вдоль оси x около положения равновесия х = 0. Скорость частицы изменяется по закону v = 18 cos(4t + 1,57) (см/с). Найти путь s, пройденный частицей за первые t = 10 с.

7.11.Частица совершает прямолинейные гармонические колебания с периодом Т = 6 с. Определить промежутки времени τ1 и τ2 между последовательными моментами времени, в которые смещения частицы одинаковы по знаку и равны по модулю половине амплитуды.

7.12.Частица совершает колебания вдоль оси х по закону х = 5 sin 0,5πt. Найти промежуток времени, за который частица проходит путь от положения равновесия до максимального смещения. Чему равны промежутки τ1 и τ2 , за которые частица проходит первую и вторую половины этого пути?

7.13.Частица одновременно участвует в двух колебаниях одного направления: x1 = 4 соs4t (см) и х = 3 cos(4t + π/2) (см). Найти циклическую частоту ω, амплитуду А и начальную фазу а результирующего колебания частицы.

7.14.Написать уравнение движения х (t) частицы, одновременно участвующей в двух колебаниях одного направления: xl = 30 соsπt/3 и х2 =30 cos(πt/3 + π/6).

7.15.Найти уравнение результирующего колебания, полученного при сложении двух колебательных движений одного направления: х1 = 40 соs18πt и х2 = 40 cos20πt.

7.16.Складываются два гармонических колебания одного направления с частотами v1 = 460 Гц и v2 = 461 Гц. Найти период τ биений.

7.17.Найти амплитуду А и начальную фазу α колебаний, получающихся в результате сложения следующих колебаний одного направления: х1 = 20 cos ωt (мм), х2 = 20 cos(ωt + π/3) (мм), x3 = 20 cos(ωt + 2π/3) (мм). Написать уравнение результирующих колебаний х (t).

7.18.Результирующее колебание точки, участвующей в двух колебаниях одного направления, описывается выражением х = A cos 2,1t cos 80t. Найти период биений τ и циклические частоты ω1 и ω2 складываемых колебаний.

7.19.Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: х = sin πt (мм) и у = 2соs π(t + 0,5) (мм). Найти уравнение траектории точки у(х).

7.20.Частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: х = 0,50 sin ωt и у = 1,5 cos ωt. Найти уравнение движения частицы у(х). Изобразить траекторию и указать на ней направление движения частицы.

7.21.Груз, подвешенный на пружине, совершает вертикальные незатухающие колебания с амплитудой смещения А = 0,06 м. Максимальная кинетическая энергия груза W = 1,2 Дж. Найти коэффициент жесткости k пружины. Массой пружины пренебречь.

7.22.Определить полную механическую энергию W колебаний груза, подвешенного на пружине, если он в начальный момент времени оттянут вниз на х0 = 8·10^-2 м от положения равновесия и предоставлен самому себе. Известно, что пружина растягивается под влиянием силы 20 Н на 10 мм. Массой пружины пренебречь.

7.23.Ареометр плавает в жидкости. Масса ареометра m = 98 г, диаметр его трубки d = 8 мм. После небольшого толчка ареометр совершает вертикальные колебания с периодом T = 2,8 с. Считая колебания ареометра незатухающими, определить плотность ρ жидкости.

7.24.В открытую с обоих концов U-образную трубку вливают 0,24 кг ртути. Радиус канала трубки r = 5 мм. Определить циклическую частоту со колебаний ртути в трубке. Вязкостью ртути пренебречь.

7.25.Определить коэффициент затухания β математического маятника, если за промежуток времени τ = 4,8·10² с маятник теряет 99 % своей полной механической энергии.

7.26.Найти коэффициент затухания β и логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если известно, что за t = 100 с колебаний полная механическая энергия маятника уменьшилась в десять раз. Длина маятника l = 0,98 м.

7.27.Тело массой m = 360 т подвешено к пружине с коэффициентом жесткости k = 16 Н/м и совершает вертикальные колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания λ = 0,01. Сколько колебаний N должно совершить тело, чтобы амплитуда смещения уменьшилась в е раз? За какой промежуток времени τ произойдет это уменьшение амплитуды?

7.28.Частица совершает прямолинейные затухающие колебания с периодом Т = 4,5 с. Начальная амплитуда колебаний A0 = 0,16 м, а амплитуда после 20 полных колебаний A = 0,01 м. Определить коэффициент затухания β и логарифмический декремент затухания λ. Написать уравнение колебаний частицы, приняв начальную фазу колебаний α = 0.

7.29.Тело массой m = 12 г совершает затухающие колебания с частотой ω = 3,14 с^-1. При этом за время τ = 60 с тело теряет 0,9 своей полной механической энергии. Найти: а) коэффициент затухания β; б) коэффициент сопротивления среды γ; в) добротность колебательной системы Q.

7.30.Математический маятник совершает затухающие колебания в среде, логарифмический декремент затухания которой λ1 = 1,26. Определить логарифмический декремент затухания λ маятника, если сопротивление среды возрастает в 2 раза. Во сколько раз nmin надо увеличить сопротивление среды, чтобы движение маятника стало апериодическим?

7.31.Определить амплитуду А вынужденных колебаний груза массы m = 0,1 кг на пружине с коэффициентом жесткости k = 10 Н/м, если на груз действует вертикальная вынуждающая гармоническая сила с амплитудой F0 = 1,5 Н и частотой, в два раза большими собственной частоты груза на пружине. Коэффициент затухания β = 0,4 с^-1.

7.32.Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы v1 = 100 Гц и v2 = 150 Гц равны между собой. Найти частоту v, соответствующую резонансу смещений. Вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону.

7.33.Амплитуды скорости вынужденных колебаний при частотах вынуждающей гармонической силы, равных v1 = 150 Гц и v2 = 200 Гц, равны между собой. Найти частоту v, соответствующую резонансу скорости.

7.34.Тело массой m = 0,1 кг совершает вынужденные прямолинейные колебания. Амплитудное значение вынуждающей силы F0 = 1,5 Н. Коэффициент затухания β = 0,5 с^‑1. Определить максимальное значение амплитуды скорости тела.

7.35.Тело массой m = 0,2 кг подвешено на невесомой пружине с коэффициентом жесткости k = 50 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной силы с циклической частотой ω = 20 с^‑1 тело совершает установившиеся вынужденные колебания с амплитудой Aх = 20 мм. При этом смещение тела отстает по фазе от вынуждающей силы на Зπ/4. Найти: а) логарифмический декремент затухания λ; б) работу А вынуждающей силы за период колебаний.

7.36.Механическая колебательная система характеризуется логарифмическим декрементом затухания λ = 1,57. Под действием внешней гармонической силы, амплитудное значение которой не изменяется с изменением ее частоты, система совершает установившиеся вынужденные колебания. Найти отношение η максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малых частотах вынуждающей силы.

7.37.Найти скорость и распространения упругой волны в воздухе, если длина волны λ = 0,17 м, а частота колебаний v =2 кГц.

7.38.Вдоль оси х распространяется плоская гармоническая волна длиной λ. Определить расстояние Δx: между точками, в которых колебания частиц отличаются по фазе на π/2.

7.39.Плоская упругая волна распространяется вдоль линии, соединяющей две точки, расстояние между которыми Δγ = 0,15 м. Определить разность фаз Δφ колебаний частиц среды в этих точках, если частота источника ν = 10³ Гц, а скорость волны υ = 340 м/с.

7.40.Звуковые колебания, имеющие частоту v = 0,5 кГц и амплитуду A = 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны λ = 0,7 м. Найти: а) скорость v распространения волн; б) максимальную скорость ζmах частиц среды.

7.41.Определить скорость и распространения упругих поперечных волн в алюминии, если его модуль сдвига G = 24 ГПа.

7.42.Определить скорость и распространения упругих продольных волн в алюминии, если модуль Юнга алюминия Е = 69 ГПа.

7.43.Определить длину волны X, если расстояние между первой и пятой пучностями стоячей волны Δγ = 0,32 м.

7.44.Медный стержень длиной l = 1 м закреплен в середине. Считая модуль Юнга Е = 100 ГПа, найти частоты vn собственных продольных колебаний стержня.

7.45.Определить три наименьшие частоты v1, v2, v3, при которых в закрепленном в середине медном стержне получатся стоячие продольные волны. Длина стержня l = 1 м. Для меди модуль Юнга Е = 1·10¹¹ Па.

7.46.Определить частоту v1 основного тона столба воздуха в трубе, если она открыта с одного конца и ее длина l = 0,85 м. Скорость распространения упругих волн в воздухе v = 340 м/с.

7.47.Найти частоту v1 основного тона столба воздуха в трубе, открытой с обоих концов. Длина трубы l = 0,85 м. Скорость распространения упругих волн в воздухе v = 340 м/с.

7.48.В среде распространяется незатухающая плоская гармоническая волна. Известно, что через t = 1/6T после прохождения максимума смещения в любой точке среды объемная плотность энергии равна w1. Найти среднюю объемную плотность <w> полной энергии колебаний.

7.49.В упругой среде плотностью ρ вдоль оси х распространяется волна ξ = A cos (ωt - kx). Получить выражение для вектора плотности потока энергии I.

7.50.Фазовую скорость волны длиной λ, распространяющейся по водной поверхности, если пренебречь явлением поверхностного натяжения и конечной глубиной водоема, можно найти из выражения , где g - ускорение свободного падения. Показать, что в рассматриваемом случае групповая скорость u волны равна половине ее фазовой скорости v. Определить фазовую и групповую скорости волны, если λ = 800 м.