ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Какими фундаментальными свойствами пространства и времени обусловлены законы сохранения?

2.Какие силы называются: внешними; внутренними? Какие системы материальных точек называются: замкнутыми; незамкнутыми? Может ли система вести себя как замкнутая в одном определенном направлении?

3.Покажите, что для системы материальных точек , где – импульс системы; результирующая всех внешних сил. Что называется центром масс системы материальных точек и каковы его свойства?

4.Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных точек, указав на его связь с однородностью пространства. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса, сохранения проекции импульса.

5.Запишите уравнение динамики тела с переменной массой (уравнение Мещерского) и поясните смысл входящих в него величин.

6.Дайте определение: а) механической работы А; б) мощности N. Каковы свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

7.Какие силы называются: консервативными; не консервативными? Какие поля являются: потенциальными; непотенциальными?

8.Получите выражение для кинетической энергии движущейся материальной точки. Выведите формулу для потенциальной энергии: а) тела, поднятого над землей; б) упруго деформированной пружины.

9.Для каких систем тел справедлив закон сохранения механической энергии и как он формулируется? Укажите на его связь с однородностью времени.

10.Какое взаимодействие называется ударом? Приведите примеры абсолютно упругого и неупругого ударов.

11.Какими законами сохранения определяется соотношение между начальным и конечным состоянием тел, участвующих в соударении? В какие виды энергии может переходить кинетическая энергия соударяющихся тел? Позволяют ли законы сохранения определить, что происходит в процессе соударения?

12.Используя законы динамики и закон сохранения энергии, получите уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.

ЗАДАЧИ

3.1.Льдина площадью поперечного сечения S и высотой H плавает в воде. Найти работу, которую надо совершить, чтобы льдину полностью погрузить в воду. Плотность льда ρл и плотность воды ρв известны.

3.2.Шар радиусом R = 6 см удерживается внешней силой под водой так, что его верхняя точка касается поверхности воды. Плотность материала шара ρ = 500 кг/м3. Какую работу совершит выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить ему свободно всплывать?

3.3.Из залитого подвала, площадь пола которого S = 50 м2, требуется выкачать воду на мостовую. Глубина воды в подвале h = 1,5 м, а расстояние от уровня воды в подвале до мостовой Н = 5 м. Найти работу, которую надо совершить при откачке воды.

3.4.Однородная цепочка длиной l = 1,2 м и массой т = 2,8 кг лежит на столе. Когда часть цепочки длиной l1 = 0,14 м спускают со стола, она начинает скользить. Коэффициент трения между столом и цепочкой l = 0,1. Найти работу по преодолению силы трения, совершаемую при соскальзывании всей цепочки.

3.5.Однородная цепочка длиной l лежит на горизонтальной плоскости так, что 1/3 ее длины находится на гладкой поверхности, а остальная – на шероховатой. Под действием постоянной горизонтальной силы F цепочку перетягивают с шероховатой поверхности на гладкую. Сила F равна минимальной силе, при которой цепочка начинает скользить; сила трения не зависит от скорости. Какую работу совершит сила трения, действующая на цепочку, при ее полном перемещении на гладкую поверхность?

3.6.Тело массой m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 . Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

3.7.Тело массой т под действием постоянной силы движется прямолинейно, причем зависимость координаты х тела от времени определяется равенством х = В + Ct + Dt2, где В, С, D - постоянные. Найти работу силы за интервал времени от 0 до 11.

3.8.Материальная точка массой т = 2 кг под действием постоянной силы тяги движется прямолинейно согласно уравнению х = Bt + Ct2 + Dt3, где В = -2 м/с, С = 1 м/с2, D = -0,2 м/с3. Найти мощность, развиваемую при движении точки в моменты t1 = 2 с и t2 = 5 с.

3.9.Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости ху из точки 1 с радиусом-вектором r1 = li + 2j в точку 2 с радиусом-вектором r2 = 2i - 3j под действием силы F = 3i + 4j . Найти работу, совершенную силой F на этом перемещении.

3.10.Тело массой т начинают поднимать с поверхности земли, приложив к нему силу, которую изменяют с высотой подъема у по закону F = 2(ау - 1)mg, где а - положительная постоянная. Найти работу этой силы на первой половине пути подъема.

3.11.Шарику, подвешенному на легкой нерастяжимой нити длиной l = 1 м, толчком сообщили скорость v = 6 м/с. Найти высоту, на которой нить ослабнет и шарик перестанет двигаться по окружности. Чему будет равна скорость шарика в этот момент?

3.12. Груз массой т = 300 г подвешен на нити длиной l = 1 м, закрепленной в точке О (рис. 3.1). Нить отвели в сторону так, что она заняла горизонтальное положение, и отпустили. Найти силу натяжения нити в моменты прохождения грузом точек В и А, если угол α = 45°.

3.13.Небольшое тело массой т = 2 г соскальзывает без трения по искривленной поверхности из точки А (рис. 3.2) . Точка А находится на высоте h1 = 50 см , а точка С – на высоте h2 = 30 см от горизонтальной плоскости MN. Радиусы кривизны поверхности в точках В и С одинаковы: R = 40 см. Найти модули сил давления на поверхность в точках В и С.

3.14.Тело массой т пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Начальная скорость тела v0 , коэффициент трения μ. Найти: а) путь, пройденный телом до остановки; б) работу силы трения на этом пути.

3.15. Небольшое тело начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиусом R = h/2 (рис. 3.3). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

3.16.Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой Н, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 3.4) . При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние L? Чему оно равно?

3.17.Гирька массой т = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной l0, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Скорость движения гирьки соответствует частоте вращения п = 2 об/с. Угол отклонения резинового шнура от вертикали α = 30°. Найти длину нерастянутого резинового шнура. Для растяжения шнура на х1 = 1 см требуется сила F = 6 Н.

3.18.Тело массой т = 500 г, прикрепленное к резиновому шнуру длиной l0 = 9,5 см, отклоняют на угол α = 90° и отпускают. Коэффициент жесткости резинового шнура k = 9,8 Н/см. Найти длину l резинового шнура в момент прохождения телом положения равновесия.

3.19.Груз, положенный на чашку весов, сжимает пружину на х1 = 5 см. Найти величину сжатия пружины для случая, когда этот же груз падает на чашку весов с высоты h = 10 см.

3.20.Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости k1 и k2 . Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на Δl.

3.21.Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v = 100 м/с, разрывается на две равные части на высоте h = 40 м. Одна часть через τ = 1 с падает на землю точно под местом взрыва. Найти модуль и направление скорости второй части снаряда сразу после взрыва.

3.22.Определить, во сколько раз уменьшилась масса ракеты, если через некоторое время после запуска ее скорость составляла 57,5 м/с, а относительная скорость выхода продуктов сгорания из сопла и = 25 м/с. Сопротивлением воздуха и ускорением свободного падения пренебречь.

3.23.Начальная масса ракеты m0 = 200 г, масса заряда т = 180 г, начальная скорость ракеты равна нулю, относительная скорость выхода продуктов сгорания из сопла и = 30 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и ускорением свободного падения, найти скорость ракеты в момент полного выгорания заряда.

3.24.В баллистический маятник массой М = 4 кг попадает пуля массой т = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, и застревает в нем. Найти высоту, на которую поднимется, отклонившись, маятник, и долю кинетической энергии пули, израсходованной на пробивание маятника.

3.25.Навстречу друг другу летят два шара массами m1 и m2. Кинетическая энергия второго шара в 20 раз больше кинетической энергии первого . Между шарами происходит абсолютно неупругий удар. Найти, при каком соотношении m1\m2 шары после удара будут двигаться в сторону движения первого шара.

3.26.Частица массой m1 = 1 г, двигавшаяся со скоростью v1 = 3i — 2j , испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой m2 = 2 г и скорость v2 = 4i - 6j. Найти скорость u образовавшейся частицы.

3.27.Частица 1, двигавшаяся со скоростью v1 = 3i + 4j, испытала абсолютно неупругое соударение с частицей 2, скорость которой v2 = i + 2j. Скорость образовавшейся частицы оказалась равной u = 2i + 3j . Найти отношение масс m1/m2 частиц до соударения.

3.28.Частицы 1 и 2, отношение масс которых т1/т2 = 1/2, двигаясь в плоскости ху, испытали абсолютно неупругое столкновение. Радиусы-векторы частиц до соударения изменялись с течением времени по законам: r1 = 3ti +4tj; r2 = ti + 2tj. Найти скорость и образовавшейся частицы.

3.29.Частица 1 массой т, летящая со скоростью v, столкнувшись с неподвижной частицей 2 массой М, отскакивает от нее и летит в противоположном направлении со скоростью и1 = v/2. Найти: а) скорость частицы 2 после столкновения; б) энергию, которая пошла на нагревание и деформацию.

3.30.Частица 1 массой т, летящая со скоростью v, сталкивается с неподвижной частицей 2 массой 4m. После соударения частица 1 движется в противоположном направлении, а 1/4 часть ее первоначальной энергии уходит на нагревание и деформацию. Найти скорости и1 и u2 частиц после соударения.

3.31.Атом гелия массой т и атом пара ртути массой 50т движутся в вакууме по прямой навстречу друг другу. Скорость атома гелия 1·103 м/с, скорость атома ртути 2·102 м/с. Найти скорости и1 и и2 атомов после их соударения, считая удар упругим.

3.32.Нейтрон массой т ударяется о неподвижное ядро: а) атома углерода (mс = 12m); б) атома урана (mU = 235m). Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть своей скорости ε = Δv/v потеряет нейтрон при ударе в каждом случае.

3.33.Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в 4 раза меньше массы атома гелия?

3.34.Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m . Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть первоначальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решить в общем виде, а затем рассмотреть случаи: а) m1 = т2, б) m1 = 9т2.

3.35.Какую максимальную часть своей кинетической энергии может передать шарик массой m1 = 20 г, сталкиваясь упруго с неподвижным шариком массой т2 = 80 г?

3.36.Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс т1/m2, если: а) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями; б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол между их направлениями разлета Θ = 60.

3.37.На покоящийся шар налетает другой шар такой же массой, скорость которого v = 6 м/с. В результате упругого столкновения шар изменил направление своего движения на угол α = 30°. Найти скорости шаров после удара и угол β между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара.

3.38.Частица 1 массой т1 с импульсом p1 налетает на покоящуюся частицу 2 массой т2 и испытывает с ней упругое столкновение. Найти импульсы и частиц после столкновения, в результате которого частица 2 отлетает под углом Θ к первоначальному направлению налетающей частицы 1.

3.39.Маятник представляет собой легкий тонкий стержень длиной l = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой М = 1 кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью v = 50 м/с стальной шарик массой m = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным.

3.40.Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара т1 = 0,2 кг, второго – т2 = 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр масс поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимется каждый из шаров после соударения, если удар абсолютно упругий?

3.41.

Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где сечения трубы равны S1 и S2 (рис. 3.5). По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках равна Δh .

3.42. Трубка Пито (рис. 3.6) установлена по оси газопровода, площадь внутреннего сечения которого равна S. Пренебрегая вязкостью, найти объем газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уровней в жидкостном манометре равна Δh, а плотности жидкости и газа – соответственно ρ0 и ρ.

3.43.Схема устройства пульверизатора изображена на рис. 3.7. Определить максимальную высоту hmах, на которую он может засасывать жидкость плотностью ρ из резервуара, если давление перед входом в трубку А, где скорость очень мала, равно p0. Вязкостью пренебречь.

3.44.Найти зависимость от времени силы F, действующей на дно цилиндрического стакана площадью S, в который наливают воду из чайника (рис. 3.8). Известно, что за секунду в стакан наливается постоянное количество Q воды.

3.45.Шприц, применяемый для смазывания шарнирных соединений автомобиля, заполнили для промывки керосином. Радиус поршня шприца R = 2 см, ход поршня l = 25 см. Радиус выходного отверстия шприца r = 2 мм. Пренебрегая вязкостью керосина и трением поршня о стенки, определить время τ, за которое будет вытеснен керосин из шприца, если давить на поршень с постоянной силой F = 5 Н.

3.46.Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски равна 0,8·103 кг/м3.

3.47.Устройство, называемое трубкой Пито-Прандтля, состоит из двух узких коаксиальных трубок (рис. 3.9). Внутренняя трубка открыта на нижнем конце, внешняя имеет боковые отверстия. Верхние концы трубок подключены к дифференциальному манометру, измеряющему разность давлений Δр. С помощью этого устройства можно измерять скорость жидкости (или газа). Для этого его погружают в жидкость, обратив открытым концом навстречу потоку, и отсчитывают Δр. При погружении трубки Пито-Прандтля в поток жидкости с плотностью р = 1,10·102 кг/м3 была обнаружена разность давлений Δр = 4,95·103 Па. Найти скорость v течения жидкости.

3.48.Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой H, имеет форму усеченного конуса, сужающегося вверх (рис. 3.10). Диаметр нижнего сечения D, верхнего d, высота сопла h . Определить секундный расход V1 воды, подаваемой фонтаном, и избыточное давление Δр в нижнем сечении. Сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле пренебречь.

3.49. Струя воды площадью поперечного сечения S1 вытекает в горизонтальном направлении из брандспойта, расположенного на высоте h над поверхностью земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l (рис. 3.11). Пренебрегая сопротивлением воздуха движению воды, определить избыточное давление Δр воды в рукаве, если площадь его поперечного сечения S2 .

3.50.В боковой стенке широкого открытого бака вмонтирована суживающаяся трубка (рис. 3.12), через которую вытекает вода. Площадь сечения трубки уменьшается от S1 = 3,6 см2 до S2 = 1,2 см2. Уровень воды в баке на 4,9 м выше уровня в трубке. Пренебрегая вязкостью воды, найти горизонтальную составляющую силы F, действующую на трубку.

 

Задание 4. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА